Линейные операторы

Программы по математике

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Матрицы, действия над ними. Определители 2-го и 3-го порядков. Понятие об определителях n-го порядка. Свойства определителей. Ранг матрицы. Обратная матрица. Системы линейных алгебраических уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений. Правило Крамера. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.

2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Векторы. Проекция вектора на ось, основные теоремы о проекциях. Длина вектора в координатной форме. Линейные операции над векторами в координатной форме. Направляющие косинусы вектора. Скалярное произведение двух векторов, его механический смысл, свойства, координатная форма. Угол между двумя векторами в координатной форме. Условия перпендикулярности двух векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический смысл, свойства, координатная форма. Смешанное произведение трёх векторов, его геометрический смысл, координатная форма, свойства. Условие компланарности трех векторов.

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Уравнение линий на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Полярные координаты. Спираль Архимеда. Преобразование координат (перенос начала и поворот осей). Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями, между прямыми, между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Поверхности. Цилиндрические поверхности. Сфера. Эллипсоид. Гиперболоид. Параболоид. Конус.

4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ

Понятие расширения числового множества: N, Z,Q, R. Комплексные числа, комплексная плоскость, действительные, чисто мнимые и комплексные числа, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Операции над комплексными числами. Многочлены, теорема Безу, основная теорема алгебры, разложение многочлена на множители.

Линейные операторы. Собственные векторы линейных операторов. Евклидово пространство. Квадратичные формы. Привидение к каноническому виду. Геометрические приложения квадратичных форм в пространствах и .

6. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Элементы математической логики: необходимое и достаточное условия, символы математической логики, прямая и обратная теоремы. Сложная и обратная функции, их графики. Класс элементарных функций. Применение функций в экономике. Предел последовательности. Предел функции в бесконечности. Предел функции в точке. Признаки существования пределов. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых. Теоремы о пределах. Раскрытие неопределенностей вида и др. Первый и второй замечательные пределы. Непрерывность функций в точке. Непрерывность основных элементарных функций. Точки разрыва и их классификация. Свойства функции, непрерывных на отрезке.

7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Производная функции, её геометрический и механический смысл. Дифференцируемость и непрерывность. Производная суммы, произведения, частного, производная сложной и обратной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производные основных элементарных функций. Производные высших порядков. Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике. Дифференциал функции, её геометрический смысл. Дифференциал суммы, произведения, частного. Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала в приближенных выражениях. Дифференциалы высших порядков. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Бином Ньютона. Представление по формуле Тейлора.

8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

Условия возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции. Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков. Исследование графика функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика. Приложения производной в экономической теории.

9. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Понятие функции нескольких переменных. Область определения. График функции двух переменных. Предел. Непрерывность. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала, применение в приближенных вычислениях. Неявные функции. Теорема существования. Дифференцирование неявных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Производная по направлению. Градиент. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Понятие о достаточных условиях экстремума. Метод наименьших квадратов. Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия. Приложения функции нескольких переменных в экономической теории.

10. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование, интегрирование с помощью замены переменной и по частям. Интегрирование рациональных функций путем разложения в сумму простейших дробей, интегрирование некоторых иррациональных выражений, интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции, универсальная подстановка. Понятие о неберущихся интегралах.

Дата добавления: 2014-12-27