Критерии оптимальности и типы планов

В настоящее время используется свыше 20 различных критериев оптимальности планов, которые подразделяются на две основные группы. К первой группе относят критерии, связанные с ошибками оценок коэффициентов, а ко второй – с ошибкой оценки поверхности отклика [2, 3, 6]. Далее будут охарактеризованы только те критерии, которые наиболее часто применяются при решении задач оптимизации, описания поверхности отклика и оценки влияния факторов.

Критерии первой группы представляют интерес для задач оптимизации, выделения доминирующих (наиболее значимых) параметров на начальных этапах решения оптимизационных задач или для выявления несущественных параметров в задачах восстановления закономерности функционирования объекта. Геометрическое истолкование свойств ошибок коэффициентов связано со свойствами эллипсоида их рассеяния, определяемого математическим ожиданием и дисперсией значений ошибок. Пространственное расположение, форма, и размер эллипсоида полностью зависят от плана эксперимента.

Критерию D -оптимальности соответствует минимальный объем эллипсоида рассеяния ошибок (минимум произведения всех дисперсий коэффициентов полинома). В соответствующем плане эффекты факторов максимально независимы друг от друга. Этот план минимизируют ожидаемую ошибку предсказания функции отклика. Критерию A -оптимальности соответствует план с минимальной суммарной дисперсией всех коэффициентов. Критерию E -оптимальности – план, в котором максимальная дисперсия коэффициентов будет минимальна.

Выбор критерия зависит от задачи исследования, так при изучении влияния отдельных факторов на поведение объекта применяют критерий Е -оптимальности, а при поиске оптимума функции отклика – D- оптимальности. Если построение D- оптимального плана вызывает затруднения, то можно перейти к А -оптимальному плану, построение которого осуществляется проще.

Критерии второй группы используются при решении задач описания поверхности отклика, определения ограничений на значения параметров. Основным здесь является критерий G -оптимальности, который позволяет построить план с минимальным значением наибольшей ошибки в описании функции отклика. Применение G -оптимального плана дает уверенность в том, что в области планирования нет точек с чрезмерно большой ошибкой описания функции.

Среди всех классов планов основное внимание в практической работе уделяется ортогональным и ротатабельным планам.

Ортогональным называется план, для которого выполняется условие парной ортогональности столбцов матрицы планирования, в частности, для независимых переменных, где N – количество точек плана эксперимента, k – количество независимых

факторов. При ортогональном планировании коэффициенты полинома определяются независимо друг от друга – вычеркивание или добавление слагаемых в функции отклика не изменяет значения остальных коэффициентов полинома. Для ортогональных планов эллипсоид рассеяния ориентирован в пространстве так, что направления его осей совпадают с направлениями координат пространства параметров.

Использование ротатабельных планов обеспечивает для любого направления от центра эксперимента равнозначность точности оценки функции отклика (постоянство дисперсии предсказания) на равных расстояниях от центра эксперимента. Это особенно важно при решении задач поиска оптимальных значений параметров на основе градиентного метода, так как исследователь до начала экспериментов не знает направление градиента и поэтому стремится принять план, точность которого одинакова во всех направлениях. В ряде случаев при исследовании поверхности отклика требуется униморфность модели, а именно, соблюдение постоянства значений дисперсии ошибки в некоторой области вокруг центра эксперимента. Выполнение такого требования целесообразно в тех случаях, когда исследователь не знает точно расположение области поверхности отклика с оптимальными значениями параметров. Указанная область будет определена на основе упрощенной модели, полученной по результатам экспериментов.

По соотношению между количеством оцениваемых неизвестных параметров модели и количеством точек плана эксперимента все планы подразделяются на три класса: ненасыщенные – количество параметров меньше числа точек плана; насыщенные – обе величины одинаковы; сверхнасыщенные – количество параметров больше числа точек плана. Метод наименьших квадратов применяют только при ненасыщенном и насыщенном планировании, и он не применим для сверхнасыщенного планирования.

Для некоторых планов важную роль играет свойство композиционности. Так, композиционные планы для построения полиномов второго порядка получают добавлением некоторых точек к планам формирования линейных функций. Это дает возможность в задачах исследования сначала попытаться построить линейную модель, а затем при необходимости, добавив наблюдения, перейти к моделям второго порядка, использую ранее полученные результаты и сохраняя при этом некоторое заданное свойство плана, например его ортогональность.

Между критериями оптимальности и методами построения оптимальных планов экспериментов существует жесткая связь. Построение планов производится или с использованием каталогов планов или с использованием непосредственно методов планирования экспериментов, что является непростой задачей и требует достаточно высокой квалификации исследователя в области ТПЭ.

Кроме рассмотренных критериев в планировании экспериментов вполне естественно применяется критерий минимума числа экспериментов, т.е. среди всех планов желательно выбирать такой, который требует минимального числа опытов при соблюдении требований к качеству оценки функции или ее параметров.

Как было отмечено выше, одной из областей применения ТПЭ является решение задач оптимизации, причем непосредственно для поиска оптимальных решений используются градиентные методы. Вычисление оценки градиента осуществляется на основе обработки экспериментальных данных. Хотя градиентный метод оптимизации не является составной частью ТПЭ, в целях удобства освоения материала далее приведено его краткое изложение.

Применение методов планирования экспериментов вносит в типовую процедуру градиентных методов поиска свою специфику.

1. В задачах экспериментального исследования функция f (V) обычно изначально неизвестна, ее вид выбирается относительно произвольно, а параметры устанавливается по результатам эксперимента. На начальных этапах исследования трудоемкость решения задачи оптимизации можно снизить, применяя неполные полиномы k- го порядка или линейные полиномы

y^' = b0 + b1 x 1 +…+ b kxk + b12 x 1 x 2 + b13 x 1 x 3 +… + b k –1, k xk –1 xk +…+b12… k x 1 х 2… хk + e;

(2.1а)

y^' = b0 + b1 x 1 + …+ b kxk + e.

(2.1б)

Таким образом, вместо самого градиента применяется его оценка. Оба вида полинома являются линейными относительно конкретного фактора. Количество членов полинома типа (2.1а) составляет 2 ^k, а для типа (2.1б) равно k +1. Теоретически оценки коэффициентов в точке оптимума должны стать равными нулю, что и будет признаком завершения поиска решения. Однако применение этих моделей может стать нерациональным в области, близкой к оптимуму, из-за больших относительных погрешностей в оценке коэффициентов указанных моделей. Поэтому для исследования области оптимума следует переходить к использованию полиномов более высокой степени.

2. Применение градиентных методов предполагает, что движение по градиенту может осуществляться в любом направлении изменения аргументов функции f (V), т.е. ограничений на область допустимых значений аргументов нет. В практических задачах всегда существуют ограничения на значения параметров, поэтому при выборе направления движения следует учитывать это обстоятельство.

3. Значение градиента зависит от принятой системы перехода к кодированным значениям переменных, т.е. не является инвариантным к выбору центральной точки и интервала варьирования. Но знаки частных производных при переходе от одной системы координат к другой сохраняются. Поэтому направление перемещения в методе градиентного поиска не меняется при смене системы координат. Следовательно, в любой системе координат градиентный метод приведет к оптимуму, хотя скорость поиска и будет зависеть от выбранных значений центра и интервала варьирования переменных.

4. Рассмотренный выше способ определения шага крутого восхождения применяют только при описании поверхности отклика полными полиномами второй или более высокой степени. При анализе линейных функций определение шага изменения аргументов производится на основе неформальных процедур. Для полиномов (2.1а, б) шаг D v_i ^* изменения i -го фактора относительно центра (в центре области планирования все нормализованные переменные равны нулю) определяется пропорционально соответствующей составляющей оценки градиента и величине интервала варьирования D v_i

D vi ^* = D vi b i /[b1^2 +b2^2 + … + b k ^2 ]^0,5.

(2.2)

Новое значение основного уровня фактора v_{i , 1} в исходной шкале измерений составит величину

v_{i , 1}= v_{i , 0} + D v_i ^*.

5. Применение метода крутого восхождения в его классическом виде предполагает вычисление градиента на каждом этапе. А это означает необходимость проведения достаточно большого количества опытов. Бокс и Уилсон предложили в 1951 г. модификацию метода крутого восхождения. Они рекомендуют на начальном этапе поиска применять линейные полиномы для описания функции отклика. Значение градиента оценивается в начальной точке, после чего пошаговое движение по градиенту продолжается до попадания в частный оптимум (до тех пор, пока значение функции отклика возрастает при переходе от точки к точке). В точке частного оптимума с помощью факторного эксперимента снова определяется градиент. И пошаговое движение начинается по новому направлению. Так продолжается до попадания в область глобального экстремума. Эта область не может быть адекватно описана линейным уравнением. Поэтому переходят к более точному описанию поверхности отклика на основе полиномов второго порядка и уточнению положения точки глобального оптимума. Построение плана для определения полинома второй степени целесообразно осуществить путем добавления некоторых точек к "ядру", уже сформированному планированием для линейного приближения (такие планы получили наименование композиционных). В целом метод Бокса – Уилсона во многих случаях требует меньшего количества опытов возможно при несколько большем числе шагов.

6. Градиентные методы не обеспечивают гарантированного нахождения глобального максимума при нарушении условия унимодальности функции отклика. Выбор начальной точки для крутого восхождения предопределяет область поиска локального экстремума. Поэтому при наличии априорных сведений о возможности существования нескольких локальных экстремумов, целесообразно осуществить решение задачи оптимизации для нескольких вариантов задания исходных значений параметров. Эти положения остаются в силе и при поиске минимума функции отклика по методу наискорейшего спуска.

7. Если эксперимент проводится на реальном объекте и требует больших затрат ресурсов, то поиск значений параметров может завершиться при получении удовлетворительных, а не оптимальных, значений функции отклика. Градиентный метод позволяет находить приемлемые решения и в этом случае.

Однако градиентный метод не всегда эффективен. Например, если поверхность функции отклика имеет овражный характер, то движение будет происходить с одного склона на другой с медленным продвижением к точке минимума. Для таких функций разработано несколько эвристических методов ускоренного продвижения вдоль оврага или гребня.

Дата добавления: 2014-12-27