Контрольной работы № 2

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ

Контрольная работа выполняются по индивидуальным вариантам. Вариант соответствует последней цифре зачетной книжки студента, если последняя цифра 0, следует выполнять десятый вариант. Домашняя контрольная работа на проверку предоставляется за две недели до начала сессии. Однако этот срок являются крайним. Чтобы работа была своевременно прорецензирована, при необходимости доработана и сдана повторно, ее надлежит представить значительно раньше указанного срока.

Если в ходе написания работы у студента появляются вопросы или затруднения в решении задач контрольной работы, он может обратиться в филиал за консультацией. При выполнении контрольных работ необходимо соблюдать следующие правила:

1. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту. Контрольные работы, содержащие не все задачи задания, а также содержащие задачи не своего варианта, не зачитываются.

2. Перед решением каждой задачи нужно привести полностью ее условие;

3. Задания следует решать в той последовательности, в какой они даны, строго соблюдая при этом нумерацию заданий;

4. Не допускается замена задач контрольной работы другими;

5. Решение заданий должно сопровождаться пояснениями; нужно привести в общем виде используемые формулы с объяснением используемых обозначений;

6. Работа может быть выполнена в школьной тетради, либо на листах формата А4;

7. Титульный лист оформляется в соответствии с приложением.

8. Если работа получила в целом положительную оценку (зачет), то студент допускается к экзамену. Если работа не зачтена, ее необходимо в соответствии с требованиями преподавателя частично или полностью переделать. Повторную работу надо выполнить в той же тетради (если есть место) или в новой тетради и вместе с не зачтенной работой сдать снова на проверку.

Задание 1

а) Исследовать на сходимость ряд:

Решение:

Несколько членов данного ряда не являются положительными. Если отбросить конечное число членов этого ряда, он станет положительным. Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на сходимость и расходимость ряда, поэтому к этому ряду можно применить предельный признак сравнения. Если общий член ряда представляет собой отношение двух многочленов, то при подборе эталонного обобщенного гармонического ряда значение выбирают равным разности наибольший показателей степеней знаменателя и числителя. Наибольший показатель степени знаменателя равен 3, числителя – 1, поэтому =2, и в качестве эталонного ряда возьмем обобщенный гармонический ряд с членами . Найдем предел отношения общих членов исходного ряда и эталонного:

Поскольку предел конечен и отличен от нуля, то ряд исходный и эталонный либо оба сходятся, либо расходятся. Так как обобщенный гармонический ряд сходится, то исходный ряд на основании признака сравнения тоже сходится.

б) Исследовать на сходимость ряд:

Решение:

Найдем предел ; <1, значит, по признаку Коши данный ряд сходится.

в) Исследовать на сходимость ряд:

Решение:

Для исследования на сходимость данного ряда удобно применить признак Коши, поскольку , то . Так как <1, то ряд сходится.

Задание 2

а) Исследовать на сходимость знакочередующий ряд Если ряд сходится, то определить, сходится он абсолютно или условно.

Решение:

Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия признака сходимости Лейбница: , и , поэтому ряд сходится. Он сходится условно, т.к. ряд, составленный из абсолютных значений, является гармоническим , который расходится.

б) Исследовать сходимость ряда .

Решение:

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных значений . Применим к нему признак сходимости Даламбера:

, следовательно, этот ряд сходится, поэтому исходный ряд сходится абсолютно.

в) Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

Решение:

Вместо данного ряда возьмем ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда . К данному ряду с положительными членами применим признак сравнения, сравним его с рядом , имеем .

Ряд - геометрическая прогрессия со знаменателем <1, значит, данный ряд сходится. По признаку сравнения исходный ряд абсолютно сходится.

г) Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

Решение:

Применим признак Лейбница. Так как ,

то Значит, выполнено первое условие признака Лейбница.

Найдем предел общего члена ряда: . Следовательно, второе условие признака Лейбница выполнено. Ряд сходится. Проверим данный ряд на абсолютную сходимость, рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин: . Ряд – гармонический, расходится. Значит, ряд по признаку сравнения тоже расходится. Делаем вывод, что ряд сходится условно.

Задание 3

В партии из 24 деталей пять бракованных. Из партии выбирают наугад 6 деталей. Найти вероятность того, что среди этих 6 деталей окажутся две бракованных (событие В).

Решение:

Шесть деталей из 24 можно выбрать способами.

Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих событию В. Среди шести взятых наугад деталей должно быть две бракованных и четыре стандартных. Две бракованные детали из пяти можно выбрать способами, а четыре стандартных

детали из 19 стандартных деталей можно выбрать способами.

Каждая комбинация бракованных деталей может сочетаться с каждой комбинацией стандартных деталей, поэтому .

Найдем вероятность

Задание 4

На двух станках-автоматах производятся однотипные детали, причем производительность второго станка на 20% больше, чем производительность первого. Вероятность изготовления стандартной детали на первом станке равна 0,95, на втором станке – 0,94. Все изготовленные детали хранятся вместе на складе. Какова вероятность того, что наудачу взятая со склада деталь окажется стандартной? Какова вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке, если при проверке она оказалась стандартной?

Решение:

Пусть событие А – деталь, взятая со склада стандартная. Гипотеза - деталь изготовлена на первом станке, гипотеза - деталь изготовлена на втором станке. По формуле полной вероятности , причем , . Вероятности гипотез находим из следующих рассуждений. Предполагая, что станки работают одновременно, и учитывая, что производительность второго на 20% больше производительности первого. Пусть на первом станке изготовлено х деталей, тогда на втором 1,2 х деталей. Общее количество деталей на складе 2,2 х, тогда ;

Вероятность события А будет равна , вероятность того, что стандартная деталь изготовлена на первом станке:

Задание 5

Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел и , результат записать в алгебраической, тригонометрической и показательной форме:

Решение:

Найдем сумму комплексных чисел: .

Найдем разность комплексных чисел: .

Найдем произведение комплексных чисел. Комплексные числа перемножаются как двучлены, причем заменяется на -1.

Найдем частное комплексных чисел. Для этого числитель и знаменатель дроби надо умножить на число, сопряженное знаменателю.

Представим число в тригонометрической и показательной форме. Модуль данного числа равен . Данное комплексное число находится в четвертой четверти комплексной плоскости, так как , поэтому . Следовательно . Запишем число в тригонометрической форме: .

Записываем число в показательной форме: . Аналогично записываются числа и в тригонометрической и показательной формах.

Задание 6

а) Вычислить:

Решение:

б) Вычислить:

Решение:

Перепишем данное комплексное число в виде: и представим его в тригонометрической форме. Модуль данного числа равен

, при вычислении аргумента учитываем, что и . Значит , отсюда

Задание 7

Решить графическим методом задачу:

Решение:

Построим область допустимых решений, для этого построим графики линейных функций: , , .

Рассмотрим функцию . Если , то ; если , то .

Рассмотрим функцию . Если , то ; если , то .

Рассмотрим функцию . Если , то ; если , то .

Область допустимых решений является непустым множеством, поэтому построим нормаль линий уровня, координаты вектора-нормали (3,2). Линию уровня следует переместить в направлении нормали, так как задача на максимум (в противоположном, если задача – на минимум). Последней точкой пересечения линии уровня и области допустимых решений будет точка В. Для того, чтобы найти координаты данной точки, необходимо решить систему линейных уравнений:

Умножая второе уравнение на (-3) и складывая с первым уравнением, получаем ,

Функция принимает максимальное значение при ,

Рисунок:

Задание 8

Решить симплексным методом задачу:

Решение:

Приведем данную задачу к каноническому виду:

Составим первую симплексную таблицу:

Базис	Своб. члены	Переменные	Оценочные отношения
								-
									-
F		-2	-3

Минимальное оценочное отношение умножим на коэффициенты строки целевой функции и выбираем максимальное значение по абсолютной величине. Максимальным значением будет число 14 (). Столбец будет разрешающим, минимальное оценочное отношение для данного столбца равно 5, разрешающей строкой будет , разрешающим элементом будет число 1. С другими строками симплексной таблицы проведем жордановы преобразования и в разрешающей строке получаем все элементы, равные 0, кроме разрешающего. Для преобразования первой строки нужно разрешающую строку умножить на (-3) и прибавить к первой. Для преобразования второй строки нужно разрешающую строку умножить на (-1) и прибавить ко второй. Для преобразования строки целевой функции разрешающую строку умножаем на 3 и прибавляем к целевой. Рассмотрим после преобразований вторую симплексную таблицу:

Базис	Своб. члены	Переменные	Оценочные отношения
						-3
						-1		11/2
								-
F		-2

Критерий оптимальности задачи на максимум не выполнен (в строке целевой функции есть отрицательные элементы), поэтому столбец является разрешающим. Минимальное оценочное отношение равно 3. Так как другие отрицательные элементы в строке целевой функции отсутствуют, то строка будет являться разрешающей, а элемент 1 – разрешающим. Относительно данного элемента проведем жордановы преобразования.

Для преобразования второй строки нужно разрешающую строку умножить на -2 и прибавить ко второй. Для преобразования четвертой строки нужно разрешающую строку умножить на (-3) и прибавить к первой. Для преобразования строки целевой функции нужно разрешающую строку умножить на 2 и прибавить к строке целевой функции. Третью строку мы не преобразовываем, так как в разрешающем столбце уже стоит значение 0. Получаем третью симплексную таблицу:

Базис	Своб. члены	Переменные	Оценочные отношения
						-3		-
				-2
				-3				12/9
F						-3

Критерий оптимальности задачи на максимум не выполнен (в строке целевой функции есть отрицательные элементы), поэтому столбец является разрешающим. Минимальное оценочное отношение равно 1. Так как другие отрицательные элементы в строке целевой функции отсутствуют, то строка будет являться разрешающей, а элемент 5 – разрешающим. Разделим данную строку на 5 и относительно разрешающего элемента проведем жордановы преобразования.

Для преобразования первой строки необходимо разрешающую строку умножить на 3 и прибавить к первой. Для преобразования третьей строки необходимо разрешающую строку умножить на (-1) и прибавить к третьей. Для преобразования четвертой строки разрешающую строку умножаем на (-9) и прибавляем к четвертой. Для преобразования строки целевой функции нужно разрешающую строку умножить на 3 и прибавить к строке целевой функции. Получаем четвертую симплексную таблицу:

Базис	Своб. члены	Переменные	Оценочные отношения
				-1/5	3/5
				-2/5	1/5
				2/5	-1/5
				3/5	-9/5
F				4/5	3/5

Критерий оптимальности задачи на максимум выполнен (в строке целевой функции отсутствуют отрицательные элементы), отсюда максимальное значение функции равно 24 при и .

ФОРМЫ И СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТНОСТИ СТУДЕНТОВ

Формы отчетности студентов

1 курс, первый семестр: контрольная работа № 1, зачет;

1 курс, второй семестр: контрольная работа № 2, экзамен.

Содержание материалов для зачетов и экзаменов

Вопросы к зачету (1 семестр)

1. Матрицы. Основные понятия Линейные операции над матрицами. Доказать одно из свойств сложения матриц. Привести примеры. Определители второго и третьего порядков. Способы их вычислений.

2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Привести примеры. Теорема Крамера для решения систем линейных уравнений (формулировка).

3. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Привести примеры. Понятие ранга матрицы. Нахождение ранга матрицы. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

4. Векторы на плоскости. Основные понятия и определения. Линейные операции над векторами в векторной форме. Проекция вектора. Условия ортогональности и коллинеарности векторов на плоскости (доказать одно из них).

5. Векторы в пространстве. Основные понятия и определения, действия над векторами, заданными своими координатами в пространстве.

6. Векторное произведение векторов, формулы для его вычисления. Свойства векторного произведения векторов (доказать одно из них).

7. Смешанное произведение векторов (определение, формула для вычисления). Геометрический смысл смешанного произведения векторов.

8. Прямая на плоскости (основные определения). уравнение прямой, проходящей через две данные точки и каноническое уравнение прямой. уравнение прямой, проходящей через точку, параллельно данному вектору и уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору. Уравнение прямой в отрезках и параметрическое уравнение прямой.

9. Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

10. Уравнения плоскости в пространстве (общее, в отрезках, через три точки). одно из них вывести. Уравнение прямой в пространстве (параметрическое, каноническое, через две данные точки, прямая как пересечение двух плоскостей). Одно из них вывести. Взаимное расположение плоскостей в пространстве, прямых в пространстве, прямой и плоскости в пространстве.

11. Кривые второго порядка. Уравнение окружности с выводом. Эллипс, его уравнения и характеристики. Гипербола, ее уравнения и характеристики. Парабола, ее уравнения и характеристики.

12. Поверхности второго порядка. Сфера, ее уравнения и характеристики. Эллипсоид, его уравнения и характеристики. Гиперболоид, его уравнения и характеристики. Параболоид, его уравнения и характеристики.

13. Числовые множества. Абсолютная величина числа и ее свойства (одно доказать) Определение числовой последовательности, способы ее задания.

14. Свойства числовых последовательностей (одно доказать). Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь между ними.

15. Определение числовой функции, способы ее задания. Свойства функций, привести примеры. Классификация функции. Примеры.

16. Понятие предела функции. Предел функции в точке, на бесконечности. Односторонние пределы.

17. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, связь между ними. Привести примеры. Теоремы о пределе суммы, разности, произведения, частного функций, степени функции (одну доказать).

18. Методы раскрытия основных неопределенностей при вычислении пределов функции. Первый и второй замечательные пределы. Привести примеры. Правила сравнения бесконечно малых функций. Перечислить основные эквивалентности для бесконечно малых функций. Привести примеры.

19. Понятие о непрерывности функции. Арифметические действия над непрерывными функциями (доказательством). Определение точек разрыва функции и их классификация. Свойства непрерывных функций (формулировки). Привести примеры.

20. Определение производной функции, ее физический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к графику функции в точке.

21. Определение функции, дифференцируемой в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке. Дифференциал функции (определение, формула для вычисления).

22. Правила дифференцирования. Вывести формулу дифференциала суммы двух функций. Вывести формулу дифференциала частного двух функций. Вывести формулу дифференциала произведения двух функций.

23. Правило дифференцирования степенной функции (с выводом). Привести примеры. Дифференцирование показательной логарифмической функций, привести примеры.

24. Дифференцирование тригонометрических функций (одну и формул вывести), привести примеры. Дифференцирование обратных тригонометрических функций (одну из формул вывести). Привести примеры.

25. Правила нахождения производной функции, заданной неявно или параметрически. Привести примеры.

26. Алгоритм исследования функции на возрастание, убывание и экстремумы по первой производной. Привести пример. Алгоритм исследования функции на экстремум по второй производной. Привести пример.

27. Производные высших порядков. Физический смысл второй производной. Примеры.

28. Общая схема исследования функций. Пример.

29. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей, возникающих при вычислении пределов функций.

30. Функция нескольких переменных (определение, основные понятия). Примеры. Алгоритм нахождения экстремумов функции нескольких переменных. Привести пример.

31. Частные производные функции нескольких переменных, правила их нахождения, примеры. Частные производные функции второго порядка, правила их нахождения. Примеры.

32. Градиент функции в точке (определение, правило нахождения). Нахождение производной функции по заданному направлению. Привести пример.

33. Первообразная функции. Основное свойство первообразной (доказать теорему). Неопределенный интеграл. Определение. Свойства (одно доказать).

34. Таблица основных неопределенных интегралов.

35. Непосредственное интегрирование. Таблица основных неопределенных интегралов.

36. Интегрирование методом подстановки. Интегрирование по частям.

37. Определение правильной, неправильной рациональной дроби. Виды простейших рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших.

38. Интегрирование рациональных дробей.

39. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы.

40. Интегрирование некоторых выражений, содержащих тригонометрические функции.

41. Определение определенного интеграла и его геометрический смысл.

42. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница. Свойства определенного интеграла (одно доказать).

43. Нахождение площади криволинейной трапеции.

44. Нахождение объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.

45. Метод подстановки при вычислении определенного интеграла.

46. Вычисление определенного интеграла методом интегрирования по частям.

47. Приложения определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции, длина дуги кривой.

48. Приложения определенного интеграла. Площадь поверхности вращения, объемы тел вращения.

49. Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Его геометрический смысл.

50. Определение несобственного интеграла от неограниченной функции. Пример.

51. Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.

52. Двойной интеграл. Основные понятия и условия существования.

53. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Общее и частное решение. Формулировка задачи Коши, теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

54. Определение дифференциального уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными. Метод их интегрирования. Пример.

55. Определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Решение его методом вариации. Пример.

56. Определение дифференциального уравнения n-го порядка, общее решение. Формулировка задачи Коши теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка.

57. Неполные дифференциальные уравнения второго порядка. Алгоритм их решения.

58. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

59. Линейные неоднородные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка.

60. Метод Лагранжа.

61. Метод неопределенных коэффициентов.

Вопросы к экзамену (2 семестр)

1. Числовой ряд. Основные понятия.

2. Необходимый признак сходимости числового ряда. Пример.

3. Признаки сравнения для сходимости числового ряда. Пример.

4. Признак Даламбера.

5. Радикальный признак Коши для сходимости ряда. Пример.

6. Интегральный признак для сходимости ряда. Пример.

7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Основные понятия.

8. Признак Лейбница для сходимости знакочередующегося ряда. Пример.

9. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.

10. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.

11. Степенные ряды. Основные понятия. Свойства. Формулы Тейлора и Маклорена.

12. Необходимое и достаточное условие сходимости степенного ряда

13. Испытания и события. Их классификация.

14. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности случайного события.

15. Основные понятия и формулы комбинаторики.

16. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Формулировка, пример. Произведение событий. Определение. Примеры.

17. Полная группа событий, противоположные события. Определения, примеры.

18. Условная вероятность. Определение. Примеры.

19. Теорема умножения вероятностей. Формулировка, пример. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.

20. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формула Бейеса. Пример.

21. Формула Бернулли. Пример.

22. Случайная величина. Основные определения. Дискретные и непрерывные случайные величины.

23. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальное распределение случайной величины. Распределение Пуассона случайной величины. Геометрическое распределение случайной величины.

24. Числовые характеристики дискретных случайных величин (ДСВ).

25. Закон больших чисел (неравенство Чебышева, теорема Чебышева, теорема Бернулли).

26. Определение функции распределения вероятностей случайной величины. Свойства функции распределения вероятностей случайной величины. График функции распределения случайной величины.

27. Определение плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины (НСВ). Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.

28. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения. Свойства плотности распределения непрерывной случайной величины. Вероятностный смысл плотности распределения непрерывной случайной величины.

29. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

30. Нормальное распределение непрерывной случайной величины. Нормальная кривая, влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.

31. Вероятность попадания в заданный интервал непрерывной случайной величины.

32. Правило трех сигм. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс.

33. Определение показательного распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины. Числовые характеристики показательного распределения непрерывной случайной величины.

34. Понятие о системе нескольких случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины. Функция распределения двумерной случайной величины, ее свойства.

35. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация.

36. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

37. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

38. Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме. Формулы Эйлера.

39. Определение задачи линейного программирования (ЗЛП).

40. Построение канонической формы для задач линейного программирования.

41. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования и графический метод ее решения.

42. Базисные решения задачи линейного программирования, их свойства.

43. Симплекс-метод, общая характеристика.

44. Критерий оптимальности допустимого базисного плана в симплекс-методе.

45. Описание алгоритма симплекс-метода и табличная организация вычислительного процесса.

46. Понятие двойственной задачи в линейном программировании. Теоремы двойственности и их применение.

47. Экономическая интерпретация двойственной задачи линейного программирования.

48. Целочисленная задача линейного программирования. Графический метод решения.

49. Транспортная задача в матричной постановке и ее свойства.

50. Использование метода наименьшей стоимости для построения допустимого плана транспортной задачи.

51. Использование метода северо-западного угла для построения допустимого плана транспортной задачи.

52. Распределительный метод улучшения допустимого плана транспортной задачи.

53. Открытая транспортная задача. Метод ее решения.

54. Критерий оптимальности для транспортной задачи.

55. Метод потенциалов для решения транспортной задачи.

56. Графы, ориентированные и неориентированные. Основные понятия.

57. Сети. Основные понятия.

58. Задача о кратчайшем пути в сети. Задача о коммивояжере.

59. Предмет теории игр. Понятие игры. Классификация игр.

60. Матричные игры. Понятие седловой точки. Решение матричных игр в чистых стратегиях.

61. Принцип минимакса и максимина.

62. Смешанные стратегии в матричных играх. Основная теорема матричных игр.

63. Графические методы решения матричных игр.

64. Игры с «природой». Критерий Лапласа, критерий Вальда, критерий Сэвиджа, критерий Гурвица.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.

2. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. – М: Дело, 2000.

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ, 2000.

4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов, 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учебно-справочное пособие/ под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2007.

6. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и практикум (часть 1) / Под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2005.

7. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и практикум (часть 2) / Под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2005.

8. Щипачев В.С. Высшая математика. Учеб. Для вузов. – 5-е изд., стер., - М.: Высшая школа, 2001.

9. Щипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов, - М.: Высшая школа, 2004.

Дополнительная:

1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Общий курс высшей математики: Учеб. для студентов физ.-мат. Спец. пед. вузов. – М.: Просвещение, 1995.

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2ч. Ч 1: учеб. пособие для вузов/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование». 2003.

3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2ч. Ч 2: учеб. пособие для вузов/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование». 2002.

4. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. – 6-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2007.

5. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко, Е.Д. Кулагин. – 6-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2006.

6. Письменный В.С. Конспект лекций по высшей математике. – 1 часть. – М.: Рольф, 2000.

7. Письменный В.С. Конспект лекций по высшей математике. – 2 часть. – М.: Рольф, 2000.

Приложение

Владимир Иванович Хавроничев

Надежда Анатольевна Хавроничева

Дата добавления: 2014-12-27