Векторные пространства

Алгебры с двумя операциями

В этом разделе рассматриваются алгебры с двумя бинарными операциями:

Å, Ä: M ´ M ® M,

которые условно называют «сложением» и «умножением», соответственно.

Кольца

Кольцо — это множество М сдвумя бинарными операциями Å и Ä, в котором:

1. (а Å b)Å с = а Å (b Å с) сложение ассоциативно;

2. $0 Î М " а а Å 0 = 0 Å а = а существует нуль;

3. " а $ - а а Å - а = 0 существует обратный элемент;

4. а Å b = b Å а сложение коммутативно,

то есть кольцо — абелева группа по сложению;

5. а Ä (b Ä с) = (а Ä b)Ä с умножение ассоциативно,

то есть кольцо — полугруппа по умножению;

6. а Ä(b Å с) = (а Ä b)Å(а Ä с) умножение дистрибутивно

(а Å b)Ä с = (а Ä с)Å(b Ä с) слева и справа.

Кольцо называется коммутативным, если

7. а Ä b = b Ä а умножение коммутативно.

Коммутативное кольцо называется кольцом с единицей, если

8. $ 1 Î M a Ä 1 = 1 Ä a = a существует единица;

то есть кольцо с единицей — моноид по умножению.

Пример

(Z; +, *) — коммутативное кольцо с единицей. Для любого натурального n (Z_n; +, *) — коммутативное кольцо с единицей.

Поля

Поле — это множество М сдвумя бинарными операциями Å и Ä, такими что:

1. (а Å b)Å с = а Å(b Å с) сложение ассоциативно;

2. $ 0 Î M a Å 0 = 0 Å a = а существует нуль;

3. " a $ -a a Å -a = 0 существует обратный элемент по сложению;

4. a Å b = b Å a сложение коммутативно, то есть поле — абелева группа по сложению;

5. a Ä(b Ä с) = (a Ä b)Ä с умножение ассоциативно;

6. $ 1 Î М а Ä 1 = 1 Ä а = а существует единица;

7. " a ¹ 0 $ а ^-1 а ^-1Ä а = 1 существует обратный элемент по умножению;

8. а Ä b = b Ä а умножение коммутативно, то есть поле — абелева группа по умножению;

9. а Ä(b Å с) = (а Ä b)Å(а Ä с) умножение дистрибутивно относительно сложения.

Пример

1. (R; +, *) — поле вещественных чисел.

2. (Q; +, *) — поле рациональных чисел.

Пусть = (F; +, *) — некоторое поле с операцией сложения +, операцией умно­жения *, аддитивной единицей 0 и мультипликативной единицей 1. Пусть V = (V; +) — некоторая абелева группа с операцией + и единицей 0. Если существу­ет операция F ´ V ® V (знак этой операции опускается), такая что для любых a, b Î F и для любых х, у Î V выполняются соотношения:

1. (а + b) х = а х + b х,

2. а (х + у) = а х + а у,

3. (а * b) х = а (b х),

4. 1 х = х,

то V называется векторным пространством над полем , элементы F называ­ются скалярами, элементы V называются векторами, а необозначенная операция F ´ V ® V называется умножением вектора на скаляр.

Пример

Пусть = (F; +, *) — некоторое поле. Рассмотрим множество кортежей Fⁿ. Тогда ⁿ = (Fⁿ; +), где (а ₁ ,...,а _n) + (b ₁, …, b _n) = (a ₁ +b ₁ ,..., а _n + b _n), явля­ется абелевой группой, если -(a ₁ ,...,а _n):= (-а ₁ ,..., -а _n) и 0 = (0,...,0). Положим a (а ₁ ,...,а_n) = (a*а ₁ ,..., a*а _n). Тогда ⁿ является векторным про­странством над для любого (конечного) п. В частности, R ⁿ является век­торным пространством для любого n.

Дата добавления: 2014-12-27