Указания по решению задач

2.1. Для заданных ниже функций найти градиент, точки экстремума, направление наискорейшего роста в заданной точке (x₀, y₀, z₀), а также уравнение плоскости, касательной к поверхности постоянного значения функции в этой точке:

2.1.1. ;

2.1.2. ;

2.1.3. ;

2.1.4. ;

2.1.5. .

Указание. Пусть = (2.1.3). Для нахождения компонент вектора градиента и точек экстремума вычислим:

Запишем систему уравнений, определяющих точки экстремума:

Решение полученной системы определяет точку экстремума с координатами

Выражение для векторного поля градиента имеет вид:

,

а в точке :

.

Для нахождения уравнение плоскости, касательной к поверхности постоянного значения в точке воспользуемся определяющим ее выражением (1.22), в котором компоненты вектора заменим на соответствующие значения компонент вектора :

.

2.2. Найти компоненты вектора градиент:

2.2.1. , где .

Указание. В данной задаче = .

Следовательно:

Аналогично:

и

Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:

Ответ: .

2.2.2. , где ;

Указание. Решение данной задачи аналогично решению предыдущей. Следует лишь учесть, что в соответствии с определением, данным при постановке задачи, вектор .

Итак: = .

Следовательно:

Аналогично:

а

Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:

Ответ: .

2.2.3. ;

2.2.4. ;

2.2.5. , где ‑ постоянный вектор, ;

2.2.6. , где ‑ постоянный вектор, ;

2.2.7. ;

Указание. В данной задаче = .

Следовательно:

Аналогично:

и

Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:

Ответ: .

2.2.8. ;

2.2.9. , где ‑ постоянный вектор;

2.2.10. ;

2.2.1.1 ;

Указание. В данной задаче = .

Следовательно:

Аналогично:

и

Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:

Ответ: .

2.2.12. , где ‑ постоянный вектор.

Указание. В данной задаче = = .

Следовательно:

Аналогично:

и

Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:

Ответ: .

2.2.13. , где и ‑ постоянные векторы;

Указание. В данной задаче

= = .

,

где компонента векторного произведения на ось x.

Примечание: Полученный результат можно получить быстрее, переписав, используя свойство векторного произведения по отношению к циклической перестановке векторов, выражение для в виде:

= = =

Следовательно:

Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:

Ответ: .

2.2.14. ;

2.2.15. ;

2.2.16. ;

2.2.17. ;

2.2.18. ;

2.2.19. ;

2.2.20. ;

2.2.21.

2.2.22.

2.2.23.

2.3.1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(3, 2, 1) в направлении наискорейшего роста функции , r=| |

Указание. Уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной вектору , определяется выражением (1.23a). Направление наискорейшего роста функции в точке определяется вектором градиента этой функции в этой точке.

В соответствии с этими замечаниями найдем вначале векторное поле градиента предложенной функции.

В данной задаче = .

.

Следовательно:

Аналогично:

и

Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:

.

Для определения значения вектора градиента в точке А(3, 2, 1) введем радиус-вектор , вычислим его длину и подставим в полученное выражение для градиента:

.

Уравнение прямой можно записать в виде:

.

Сократив записанное уравнение на неравный нулю множитель, получим искомое уравнение прямой.

Ответ: .

2.3.2. Написать уравнение плоскости, касательной к поверхности постоянного значения функции в точке .

2.3.3. Найти угол между направлениями наискорейшего роста функций и в точке .

2.3.4. Найти силу, действующую на частицу в точке , если потенциальная энергия равна .

Указание. По определению, если задана потенциальная энергия , сила , действующую на частицу в точке , определяется выражением .

2.3.5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1, 1, 2), которая является плоскостью, касательной к поверхности постоянного значения функции в этой точке. ‑ радиус-вектор, ‑ постоянный вектор с координатами (1, 2, 0).

Дата добавления: 2014-12-27