Расчет методом эквивалентного преобразования

Электрический расчет цепи с учетом найденной нагрузки.

Схема цепи в комплексной форме с учетом найденной нагрузки представлена на рис.5.

Электрический расчет схемы на рис.5 можно выполнить следующими тремя методами – методом эквивалентного преобразования, с помощью законов Кирхгофа и методом контурных токов. Выбор метода расчёта произволен. Чтобы иметь возможность сравнить эти методы ниже приводятся расчеты каждым из названных методов.

Прежде чем приступить к расчёту названным методом, рассмотрим основные положения этого метода и последовательность расчёта этим методом в соответствии с .

Основная идея метода состоит в том, что электрическая цепь последовательно преобразуется ("сворачивается") до одного эквивалентного элемента, и определяется входной ток. Затем осуществляется постепенное возвращение к исходной схеме ("разворачивание") с последовательным определением токов и напряжений.

Последовательность расчёта:

1. Расставляются условно–положительные направления токов и напряжений.

2. Поэтапно эквивалентно преобразуются участки цепи. При этом на каждом этапе во вновь полученной после преобразования схеме расставляются токи и напряжения.

3. В результате эквивалентного преобразования определяется величина эквивалентного сопротивления цепи.

4. Определяется входной ток цепи с помощью закона Ома.

5. Поэтапно возвращаясь к исходной схеме, последовательно находятся все токи и напряжения.

Для выполнения расчета методом эквивалентного преобразования представим исходную схему в комплексной форме и расставим условно- положительные направления токов и напряжений (рис.6).

Между параллельно соединенными элементами и находиться перемычка. Перемычка не рассматривается как самостоятельная ветвь, т.к. в ней нет элементов, поэтому ток в ней не вычисляется и не показан.

Первое эквивалентное преобразование целесообразно выполнить по объединению и , результат обозначим как (рис.7).

Выразим :

.

Второй этап эквивалентного преобразования состоит в объединении и , результат обозначим как (рис.8).

Определим :

.

Третий этап эквивалентного преобразования состоит в объединении трех параллельно соединенных элементов , и и результат объединения обозначим как . В принципе на этом этапе можно определить полное сопротивление между выводами , просуммировав с результатом эквивалентного преобразования параллельно соединённых названных трё1х элементов схемы. Однако, это приведёт к пропуску одного этапа эквивалентного преобразования, что вызовет затруднение в расчёте при обратном переходе. Итак, объединив параллельно соединённые элементы, схема принимает вид, представленный на рис.9.

Эквивалентное сопротивление определяется по формуле:

(7)

При вычислении (7) выражения числителя и знаменателя будут принимать большие численные значения. Рекомендуется выполнить сокращения числителя и знаменателя на 10³, что делает более обозримым процесс вычисления. Итак, подставляя численные значения в (7) и, выполняя очевидные преобразования, получим:

.

Входное сопротивление цепи обозначим через и оно будет равно:

Подставляя численные значения и выполняя очевидные преобразования, находим :

Теперь можно определить входной ток . Входное напряжение в комплексной форме имеет вид:

Частоту в выражениях для электрических величин (токи и напряжения) принято не обозначать конкретным числом. Пользуясь законом Ома, находим:

.

В соответствии с требованиями последовательности расчёта данным методом возвращаемся к схеме на рис.9 и по закону Ома находим напряжения и :

(8)

В процессе предыдущих вычислений могла иметь место ошибка, которая будет проявляться в последующих вычислениях и обнаружится только на этапе определения погрешности всего расчёта. В случае, если погрешность будет больше допустимой, придётся проверять все расчёты с самого начала. Выяснить правильно ли идёт расчёт можно в процессе расчёта. Это можно сделать уже сейчас двумя способами. Первый состоит в следующем. Для схемы рис.9 определены и . В соответствии с вторым законом Кирхгофа должно выполняться равенство:

.

Входное напряжение известно:

.

Найдём сумму напряжений и , для этого, пользуясь результатами решений (8), алгебраически суммируем косинусные и синусные составляющие и находим:

.

Видно, что равенство для второго закона Кирхгофа выполняется с большой точностью.

Второй способ оценки правильности расчёта состоит в определении погрешности расчёта на данном этапе расчёта методом баланса мощностей .

Для определения потребляемой схемой мощности необходимо знать все её диссипативные элементы. Одним из них является резистор . Комплексное

сопротивление содержит диссипативную и реактивную составляющие, которые обозначим соответственно, как и :

.

Из этого соотношения видно, что диссипативная составляющая равна:

.

Тогда мощность, потребляемая всей схемой, будет определяться из выражения:

Вт.

Мощность источника определяется из выражения:

Вт.

Погрешность расчёта определяется по формуле:

.

Подставляем численные значения и находим, что погрешность расчёта составляет

.

Оба способа оценки точности расчёта показали, что расчёт выполняется с малой погрешностью и можно с уверенностью продолжать расчёт. Поэтапная проверка точности расчёта позволяет найти этап, где допущена ошибка и устранить её.

Продолжим расчёт. Для этого перейдём к схеме на рис.8. Из схемы видно, что

. (9)

Учитывая (9) и (8),определяем токи в параллельных ветвях:

, ,

.

На этом этапе так же можно проверить на сколько точно ведётся расчёт. Одним из методов, с помощью которого можно это выполнить является проверка выполнения первого закона Кирхгофа. В соответствии с ним должно выполняться равенство:

.

Проверить выполнение этого равенства можно построением прикидочной векторной диаграммы. Выполненный анализ показал, что на последнем этапе расчета ошибок не было. Читателю предлагается выполнить это самостоятельно.

Возвращаемся к схеме на рис.7 и определяем напряжения на конденсаторе и на нагрузке .

Так как сопротивление нагрузки состоит из двух элементов (рис.6), то необходимо определить напряжения на каждом элементе цепи нагрузки:

Дата добавления: 2014-12-27