Похибка суми

Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел.

Нехай х ₁, х ₂,… х_n – данні наближені числа. Розглянемо алгебраїчну суму

Очевидно, що

Тоді

Наслідки:

За граничну абсолютну похибку алгебраїчної суми можна прийняти суму граничних абсолютних похибок

(*)

Звідси витікає, що гранична абсолютна похибка суми не може бути меншою за граничну абсолютну похибку найменш точного з доданків (тобто того, що має найбільшу похибку). Отже, з яким би ступенем точності не були всі інші складові, ми не можемо за їх рахунок збільшити точність суми. Тому немає сенсу зберігати зайві знаки і в більш точних складових.

Якщо доданки одного й того самого знаку, то гранична відносна похибка їх суми не перевищує найбільшої з граничних відносних похибок доданків.

Позначимо: – точні значення х_і

– точне значення суми.

Тоді за граничну відносну похибку суми можна прийняти

Нехай є найбільшою з , тобто

Тобто

Похибка різниці.

Роздивимось різницю двох наближених чисел . Тоді за формулою (*) гранична абсолютна похибка різниці

Тобто, гранична абсолютна похибка різниці дорівнює сумі граничних абсолютних похибок зменшуваного і від'ємника.

Звідси гранична відносна похибка різниці

А – точне значення абсолютної величини різниці та .

Зауваження щодо втрати точності: Якщо наближені числа та достатньо близькі одне до одного і мають малі абсолютні похибки, то число А мале.

Гранична відносна похибка в цьому випадку може бути досить великою, у той час як відносні похибки та залишаються малими, тобто тут має місце втрата точності.

Приклад: Обчислимо різницю двох чисел і кожне з яких має п'ять вірних знаків .

Тобто різниця U має лише дві значущі цифри, з яких остання сумнівна через те, що гранична абсолютна похибка різниці

Граничні відносні похибки зменшуваного, від'ємника і різниці

Гранична відносна похибка різниці тут в свою чергу приблизно в 5000 разів більше граничних відносних похибок вихідних даних. Тому при наближених обчисленнях корисно перетворювати вирази, в яких віднімаються близькі числа.

Приклад: знайти різницю

з трьома вірними даними

;

Цей результат можна отримати, якщо записати вихідні вирази у вигляді

і вирахувати корені з трьома вірними знаками

Отже при наближених обчисленнях потрібно по можливості уникати віднімання двох майже рівних наближених чисел (або зменшуване і від'ємник брати з достатньою кількістю запасних вірних знаків).

Дата добавления: 2014-12-23