Аксиоматическое построение математической теории

При аксиоматическом способе построения какой-либо математической теории соблюдаются следующие правила:

1. Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения.
2. Формулируются аксиомы, которые в данной теории принимаются без доказательства, в них раскрываются свойства основных понятий.
3. Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, даётся определение, в нём разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятию.
4. Каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано. Такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.

Из правил аксиоматического построения теории выделяют четыре шага:

Первый шаг: Задаётся некоторое множество первичных понятий (терминов).

Второй шаг: Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.

Третий шаг: При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.

Четвёртый шаг: Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.

Таким образом, выстраивается алгоритм аксиоматического построения теории:

• Первичные понятия.
• Аксиомы.
• Определения.
• Теоремы.

Соответственно можно на примерах рассмотреть какое утверждение в математике относится к одной составляющей из выше приведенного списка.

Примеры первичных понятий.

К первичным понятиям аксиоматического построения геометрии на плоскости относятся: точка, прямая, плоскость.

Примеры аксиом.

Аксиома 1. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Аксиома 2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Примеры определений.

Определение 1: Высказывания, данные через первичные неопределяемые понятия или через некоторые другие ранее известные утверждения, называются определениями.

Определение 2: Утверждения, принимаемые без доказательства как верные, называются аксиомами.

Определение 3: Новые утверждения о первичных и определяемых понятиях, выведенные чисто логическим путем на основе аксиом, ранее выведенных утверждений и определений, называются теоремами.

Определение 4: Простым числом называется такое натуральное число, больше единицы, которое имеет только два делителя – единицу и само это число.

Примеры теорем.

Теорема 1. Если частное натуральных чисел существует, то оно единственно.

Теорема 2. Диагонали у прямоугольника равны.

Если построение теории осуществляется аксиоматическим методом, по названым выше правилам, то говорят, что теория построена дедуктивно. При аксиоматическом построении теории, по существу все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом.

Главным требованием к системе аксиом является ее непротиворечивость, чтобы, сделав вывод теорем на основе этих аксиом, доказанные теоремы не противоречили друг другу. Система аксиом должна быть полной и независимой, При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом. Но они должны быть равносильными. Кроме того, при выборе той или иной системы аксиом математики учитывают, насколько просто и наглядно могут быть получены доказательства теорем в дальнейшем. Большинство интерпретаций для математических теорий (в частности, для арифметических) строятся на базе теории множеств. Поэтому очень важно, чтобы теория множеств была непротиворечивой. Аксиоматическая теория основных структур математики является инструментом, с помощью которого раскрывается теоретико-множественный смысл каждого понятия.

1.3. Вопросы для самоконтроля по теме «Аксиоматический метод»

1. Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой (т.е. выбрать из списка утверждение в математике, которое относится к определениям, аксиомам, теоремам):

• Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
• Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

1. К первичным понятиям аксиоматического построения геометрии на плоскости относятся:

• Луч, треугольник, плоскость.
• Точка, отрезок, плоскость.
• Фигура, плоскость, луч.
• Точка, прямая, плоскость.

1. Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой (т.е. выбрать из списка утверждение в математике, которое относится к определениям, аксиомам, теоремам):

• В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.
• Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник.
• Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

1. Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой (т.е. выбрать из списка утверждение в математике, которое относится к определениям, аксиомам, теоремам):

• Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
• Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
• Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и все точки её лежат в той же плоскости.

1. Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой (т.е. выбрать из списка утверждение в математике, которое относится к определениям, аксиомам, теоремам):

• Если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют ещё хотя бы одну общую точку.
• Диагонали у прямоугольника равны.
• Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

1. Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой (т.е. выбрать из списка утверждение в математике, которое относится к определениям, аксиомам, теоремам):

• Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника.
• Около любого треугольника можно описать окружность.
• Две точки определяют только одну прямую.

1. Выбрать из списка первый шаг при построении аксиоматической теории:

• Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.
• При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.
• Задается некоторое множество первичных понятий.
• Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.

1. Выбрать из списка второй шаг при построении аксиоматической теории:

• Задается некоторое множество первичных понятий.
• При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.
• Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.
• Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.

1. Выбрать из списка третий шаг при построении аксиоматической теории:

• При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.
• Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.
• Задается некоторое множество первичных понятий.
• Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.

1. Утверждения, принимаемые без доказательства как верные, называются:

• Определениями.
• Первичными понятиями.
• Аксиомами.
• Теоремами.

Глава 2. Основные понятия теории множеств. Основные структуры

В конце XIX века в математической науке возникла необходимость уточнить смысл таких понятий, как число, функция, непрерывность и т. д. Для этого нужно было определить, что такое натуральное число. Поиски ответа на эти сложные вопросы способствовали развитию новых математических идей. Поэтому в конце XIX и начале ХХ века происходил пересмотр старых представлений буквально во всех областях математических знаний. В результате в конце XIX века возникла новая область математики – теория множеств, одним из создателей которой был немецкий математик Георг Кантор [1845-1918]. За небольшой срок теория множеств стала фундаментом всей математики. В теории множеств в полной мере используется аксиоматический подход, то есть используются постулаты, утверждения без доказательств. В частности, аксиомы, определяющие множество N – натуральных чисел, множество Z – целых чисел, аксиомы умножения, полной упорядоченности. Ввиду очевидности каждого из постулатов, данные аксиомы в дальнейшем изложении опускаются.

Современная математика занимается не столько объектами исследования, сколько структурой отношений между этими объектами. Математика в первую очередь уделяет внимание основным структурам, в частности, таким понятиям: число, точка, векторные пространства, числовые функции, пределы и так далее, которые составляют в целом элементарную математику.

Основные структуры являются началом для построения всех разделов математики. Теория множеств занимается структурой отношений между этими объектами. В ней уточняется смысл основных терминов обиходного языка, вводятся символы, устанавливающие условия существования отношений, позволяющие выразить сжато, с помощью формул высказывания, которые лучше выявят их логическое и математическое содержание. На основе теории множеств появился теоретико-множественный язык, который позволяет описывать и объяснять математические высказывания в краткой и понятной форме, используя специальные символы и термины. Этот язык применяется во всех разделах математики. Каждый обучающийся математике независимо от специализации должен знать и понимать этот язык, как фундамент, на котором строятся основные понятия, методы в последующих разделах и курсах, которые требуется изучить.

Дата добавления: 2014-12-27