Алгебраические операции над различными математическими объектами

В математике изучают не только отношения, но и различные операции над различными математическими объектами. В качестве математических объектов можно перечислить: числа, множества, высказывания.

Для чисел: умножение, деление сложение, вычитание. Для множеств: пересечение, объединение, вычитание. Над высказываниями: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание. Операции над высказываниями и множествами появились в математике в XIX веке, и ввел их английский математик Дж. Буль [1815-1864] (булева алгебра). Операции над множествами ввел немецкий математик Г. Кантор. Оказалось, что операции над множествами и высказываниями обладают свойствами, аналогичными свойствам сложения и умножения чисел, но некоторые отличаются от свойств операций над числами. В XIX веке в математике возникли разные ветви алгебры: обычных чисел, множеств, высказываний и другие.

Появилось общее понятие алгебраической операции. В математике вводятся понятия операций над элементами множества произвольной природы и изучаются свойства таких операций. Основная идея состоит в том, чтобы изучать не свойства конкретных элементов конкретных множеств, а свойства операций над этими элементами. Множества вместе с определенными на них операциями образуют алгебру множеств. Последовательность выполнения операций задаётся с помощью формулы алгебры множеств.

Например, AÇ(ВÈC), (X\Y) È Z – формулы алгебры множеств.

Пример 22.

Дано три множества М = {7, 2, 3, 5}, N = {1, 2, 4, 7, 9},

K = {6, 7, 9}.

Найти:

X=(MÇN)È(MÇK)\(NÇК)È(N\K).

Z=(NÈM)Ç(MÈK)\(KÈN)È(N\K).

Решение.

1) MÇN= {7, 2};

2) MÇК = {7};

3) NÇК={7, 9};

4) MÈK={2, 3, 5, 6, 7, 9};

5) NÈМ= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9};

6) KÈN={1, 2, 4, 6, 7, 9};

7) N\K={1, 2, 4}.

X=(MÇN)È(MÇK)\(NÇК)È(N\K)={1, 2, 4}.

Z=(NÈM)Ç(MÈK)\(KÈN)È(N\K)={1, 2, 3, 4,5}.

2.7. Вопросы для самоконтроля по теме «Теория множеств»

1. X={5,7,3} и Z={7,2,3,4,5}, тогда для них верным утверждением будет:

a) «Множества X и Z равны»;

b) «Множества X и Z не имеют общих элементов»;

c) «Множество X включает в себя множество Z»;

d) «Множество X есть подмножество множества Z».

2. Заданы множества M={9,3,1,5} и N={9,1}, тогда для них верным утверждением будет:

a) «Множество M есть подмножество множества N»;

b) «Множества M и N не имеют общих элементов»;

c) «Множества M и N равны»;

d) «Множество M включает в себя множество N».

3. Заданы множества A={1,2,3} и M={0,2,3,6,1}, тогда для них верным утверждением будет:

a) «Множество А включает в себя множество М»;

b) «Множества A и M равны»;

c) «Множество А есть подмножество множества М»;

d) «Множество М есть подмножество множества А».

4. Заданы множества A={2,4,3,1} и B={4,2,1,3}, тогда для них неверным утверждением будет:

a) «Множества A и B равны»;

b) «Множества A и B не имеют общих элементов»;

c) «Множество A включает в себя множество B»;

d) «Множество A есть подмножество множества B».

5. Заданы множества C={7,2,5} и D={3,2,1}, тогда для них верным утверждением будет:

a) «Множество D является подмножеством множества C»;

b) «Множество C является подмножеством множества D»;

c) «Множества C и D равны»;

d) «Множество C не равно множеству D».

6. Заданы множества M={9,5,4} и N={9,1,4,2,5,3}, тогда для них верным утверждением будет:

a) «Множество M есть подмножество множества N»;

b) «Множества M и N не имеют общих элементов»;

c) «Множества M и N равны»;

d) «Множество M включает в себя множество N».

7. Если сравнить две упорядоченные пары: (3;9) и (9;3), то они находятся в отношении:

a) «функциональной зависимости»;

b) «не имеют общих элементов»;

c) «равенства».

d) «не равенства».

8. Заданы две упорядоченные пары: (8;1), (1;8) двух множеств: A={8,4,1} и B={1,4,8}, которые находятся в отношении:

a) «равенства».

b) «функциональной зависимости»;

c) «не равенства».

d) «упорядоченности по убыванию».

9. Отношение задано неравенством: x-3y>0, тогда данному отношению принадлежит следующая пара чисел:

a) (5; 2); b) (1; 1); c) (5; 1); d) (0; 0).

10. Отношение задано неравенством: 5x+y<0, тогда данному отношению принадлежит следующая пара чисел:

a) (1; 2); b) (-1; 1); c) (1; -1); d) (0; 0).

Глава 3. Структуры на множестве. Комбинаторика

Встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решений. Чтобы выбрать правильный из них, надо перебрать все возможные варианты. Задачи, требующие такого решения, называют комбинаторными. Раздел математики, в котором исследуются различные задачи на перебор, называется комбинаторикой.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором для конечных множеств рассматриваются различные соединения элементов: перестановки, размещения, сочетания. В задачах, связанных с выборкой элементов множества, необходимо подсчитать количество различных комбинаций этих элементов. С теоретико-множественной точки зрения решение комбинаторных задач связано с выбором из некоторого множества подмножеств, обладающих определенными свойствами, и упорядочением множеств. Комбинаторика возникла в ХVI веке. В ней рассматривались задачи, связанные в основном с азартными играми. В процессе изучения таких задач были выработаны некоторые общие подходы к их решению, получены формулы для подсчёта числа различных комбинаций.

В настоящее время комбинаторика является одним из важных разделов математики. Её методы широко используются для решения практических и теоретических задач. Установлены связи комбинаторики с другими разделами математики. Появились направления в математике, в основу которых положена комбинаторика: перечислительная комбинаторика, комбинаторная теория, популярная комбинаторика, комбинаторный анализ, прикладная комбинаторная математика, комбинаторные методы дискретной математики, вероятностные методы в комбинаторике и т.д.

В теории вероятностей приходится подсчитывать общее число исходов эксперимента и число благоприятных исходов. Такой подсчет сводится к перебору возможных вариантов. Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчинённых определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества.

Дата добавления: 2014-12-27