Закон распределения дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина

Рассмотрим дискретную случайную величину на примере.

Пример 1.

Число появлений герба при трех бросаниях монеты является дискретной случайной величиной Х. Возможные значения числа появлений герба: 0, 1, 2, 3. Следует найти вероятность появления герба в одном испытании.

Решение.

Вероятность появления герба в одном испытании равна p=1/2. Противоположное ему событие: герб не выпал, вероятность этого события по формуле (4.5) равна q=1-p=1/2.

1) Событие 1. «Три раза бросили монету и ни разу герб не выпал». Это сложное событие состоит из появления трёх совместных и независимых элементарных событий: «герб не выпал в одном испытании». Для события «три раза бросили и ни разу герб не выпал», которое обозначим Р(0), вероятность вычисляется по формуле умножения (4.6а) для независимых событий:

.

2) Событие 2. «Три раза бросили монету и один раз герб выпал». Это сложное событие состоит из появления одного из трёх несовместных и независимых событий: «герб выпал в одном из трёх совместных испытаний». Для события «три раза бросили монету и один раз герб выпал» вероятность будет состоять из суммы несовместных событий по формуле (4.2а), где каждое слагаемое вычисляется по формуле умножения (4.6а) для независимых событий:

.

3) Событие 3. «Три раза бросили и два раза выпал герб». Для этого события вероятность события будет состоять из суммы событий:

.

4) Событие 4. «Три раза бросили и все три раза выпал герб». Вероятность этого события совпадает с первым и вычисляется по формуле умножения (4.6а).

.

Здесь: p₁, p₂, p₃ – вероятность выпадения герба в 1, 2, 3 испытаниях.

q₁, q₂, q₃ – вероятность не выпадения герба в 1, 2, 3 испытаниях.

Результаты вычислений вынесены в таблицу 5.1.

Таблица 5.1

Событие Х	герб не выпал	герб выпал 1 раз	герб выпал 2 раза	герб выпал 3 раза
хi
Вероятность события: Р(хi)=рi

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между полученными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями. Его можно задать:

1) таблично (рядом распределения);

2) графически;

3) аналитически (в виде формулы).

В примере 1 закон распределения задан в виде ряда распределения (таблицей 5.1), где представлены все возможные значения х_i и соответствующие им вероятности р_i = Р (Х = х_i). При этом вероятности р_i удовлетворяют условию:

,

потому что:

,

где число возможных значений n может быть конечным или бесконечным.

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Для его построения возможные значения случайной величины (х_i) откладываются по оси абсцисс, а вероятности (р_i) – по оси ординат. Точки c координатами (х_i, р_i) соединяются ломаными линиями.

Функция F(х) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

,

(5.3)

где суммирование ведется по всем значениям i, для которых х_i < х.

Пример 2.

Для задачи в примере 1 найти функцию распределения вероятности F(х) этой случайной величины и построить ее. Построить многоугольник распределения.

Решение.

Если х £ 0, то F(х) = Р (Х < х) = 0.

Если 0 < х £ 1, то F(х) = Р (Х < х) = 1/8.

Если 1 < х £ 2, то F(х) = Р (Х < х) = 1/8 + 3/8 = 0,5.

Если 2 < х £ 3, то F(х) = Р (Х < х) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8.

Если х > 3, то F(х) = Р (Х < х) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1.

В таблицу 5.2 внесены значения функции распределения вероятности F(х) случайной величины х.

Таблица 5.2

№
Хi					>3
функция распределения F(х)		0,125	0,5	0,875

Для построения многоугольника распределения значения случайной величины х переписаны из таблицы 5.1 в таблицу 5.3 в более компактной форме.

Таблица 5.3

№
хi
Ряд распределения Р(хi)= рi	0,125	0,375	0,375	0,125

Многоугольник распределения вероятности представлен на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Многоугольник распределения

Функция распределения вероятности представлена на рис.5.2.

Рис. 5.2. Функция распределения

Дата добавления: 2014-12-27