Числовые характеристики дискретных случайных величин

1) Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины Х это сумма произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности:

М (Х) = x1· p1 + x2· p2 + … + xn· pn.

(5.4)

Cвойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.
2. Математическое ожидание может быть как положительным, так и отрицательным числом.
3. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной. М (С) = С.
4. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.

M(X+Y+...+W)=M(X)+M(Y)+...+M(W).

1. Математическое ожидание произведения двух или нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин. М(XY) = M(X) × M(Y).
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(C×X)=C×M(X).

2) Дисперсия D(X) дискретной случайной величины Х – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:

D(X) = M [X – M(X)]^2.

(5.5)

Формула (5.5) после возведения в степень и преобразований имеет вид:

D(X) = M (X^2) – [M(X)]^2.

(5.6)

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.
2. Дисперсия постоянной величины всегда равна нулю: D (С) = 0.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СX)=С²×D(X).
4. Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсией: D(X +Y)=D(X)+D(Y).

3) Среднее квадратическое отклонение s(Х) дискретной случайной величины Х определяется формулой (5.2). Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина.

Случайная величина называется центрированной, если математическое ожидание M(X)=0, и стандартизированной, если M(X)=0 и среднее квадратическое отклонение s=1.

Рассмотрим на примере вычисление числовых характеристик дискретных случайных величин.

Пример 3.

Найти математическое ожидание М (Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение s(Х) дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения в таблице 5.4.

Таблица 5.4

Х	-5
р	0,4	0,3	0,1	0,2

Решение.

Математическое ожидание Х вычисляется по формуле (5.4):

M(X)=-5×0,4+2×0,3+3×0,1+4×0,2=-0,3.

Дисперсия вычисляется по формуле (5.6): D(Х) = М(Х²) – [М(Х)]².

Закон распределения квадрата Х² случайной величины задан в таблице 5.5.

Таблица 5.5

Х^2
p	0,4	0,3	0,1	0,2

Математическое ожидание Х²:

М(Х²) = 25×0,4 + 4×0,3 + 9× 0,1 + 16×0,2 = 15,3.

Искомая дисперсия:

D(Х) = М(Х²) – [М(Х)]² = 15,3 – (– 0,3)² = 15,21.

Тогда среднее квадратическое отклонение будет:

Дата добавления: 2014-12-27