Статистическая проверка гипотез о параметрах распределения

Общая схема проверки гипотез

Понятие и классификация статистических гипотез

Статистической гипотезой называется предположение относительно вида неизвестного распределения или параметров известных распределений наблюдаемой случайной величины.

Ранее в 5.2 рассматривались примеры 1, 2, где вычислялись выборочные характеристики, были построены полигон или гистограмма. Можно предположить, что данная случайная величина распределена по одному из известных законов. Следующий этап: нужно проверить, что экспериментальные данные соответствуют высказанной гипотезе и принять её. Этот этап называется проверкой статистической гипотезы. Алгоритм проверки гипотезы называется решающим правилом. Так как гипотеза выдвигалась на основе выборочных данных, то гипотеза будет носить вероятностный характер.

К основным задачам математической статистики относятся:

1. Статистическая проверка гипотез о параметрах распределения. В этом случае предполагается, что закон распределения случайной величины установлен. Пусть совокупность распределена по нормальному закону. Выдвигается гипотеза о математическом ожидании в предполагаемом диапазоне.
2. Статистическая проверка гипотез о законе распределения случайной величины. Гипотезы о виде распределения выдвигаются в условиях недостаточной информации о выборке.

Практически экспериментальные данные при большой выборке приближаются к нормальному закону. Выдвинув такую гипотезу, далее следует найти доверительные интервалы для параметров этого распределения. Проверяемая гипотеза называется нулевой (основной), наиболее правдоподобной по каким-то соображениям, и обозначают её H₀. Наряду с основной гипотезой рассматривают альтернативную (конкурирующую) гипотезу H₁, противоречащую основной. Выдвинутая нулевая гипотеза нуждается в дальнейшей проверке.

При этом могут быть допущены ошибки двух типов:

1. Ошибка первого рода – отвергнута правильная гипотеза;
2. Ошибка второго рода – принята неправильная гипотеза.

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближённое распределение которой известно, обозначают её через Z, если она распределена нормально, T – по закону Стьюдента, c² – по закону «хи–квадрат». Данная специально подобранная случайная величина называется статистическим критерием или критерием значимости, который в дальнейшем будет обозначаться через Z. Статистический критерий служит для проверки нулевой гипотезы.

Например, если проверяют гипотезу о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей, то в качестве критерия принимают отношение исправленных выборочных дисперсий. Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих в критерий величин и получают наблюдаемое значение критерия. Наблюдаемым значением критерия Z_набл называют значение критерия, вычисленное по выборкам. Например, если по двум выборкам найдены выборочные дисперсии d₁=27; d₂=9, то наблюдаемое значение критерия равно отношению большей исправленной дисперсии к меньшей: Задачу проверки гипотез можно сформулировать следующим образом.

1. Требуется найти случайную величину Z, которую ещё называют статистикой критерия, удовлетворяющую двум основным требованиям:

а) Значение критерия можно посчитать только на основании выборки.

б) Распределение критерия известно в предположении, что нулевая гипотеза верна.

2. После поиска или выбора статистики находится критическая область. На числовой оси выделяется область, попадание в которую для случайной величины маловероятно. Малая вероятность задаётся, как и в доверительных интервалах, малым числом – a, которое называют уровнем значимости. Вероятность совершить ошибку первого рода (вероятность отвергнуть правильную гипотезу) равна a – уровню значимости.

Критической областью называют совокупность значений критерия Z, при которых нулевую гипотезу отвергают. Областью принятия гипотез называют совокупность значений критерия Z, при которых нулевую гипотезу принимают.

Критическими точками (границами) – z_kp называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают три вида критической области:

• правосторонняя, определяемая неравенством Z > z_kp > 0;
• левосторонняя, определяемая неравенством Z < z_kp < 0;
• двусторонняя, определяемая неравенством Z < -z_кр; Z > z_кр.

В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенством ½Z½ > z_kp > 0. При отыскании критической области задаются достаточно малой вероятностью – уровнем значимости a и ищут критические точки, исходя из требования, чтобы вероятность того, что критерий Z примет значения, лежащие в критической области, была равна принятому уровню значимости. В результате получают:

• для правосторонней критической области:

P (Z > zkp) = a;

(7.1)

• для левосторонней критической области P (Z < z_kp) = a;
• для двусторонней симметричной области P (Z > z_kp) = a/2.

Основной принцип статистической проверки гипотез заключается в следующем:

• Если наблюдаемое значение критерия Z_набл, вычисленное по данным выборки, принадлежит критической области, то гипотезу отвергают.
• Если наблюдаемое значение не принадлежит критической области, то нет оснований отвергать гипотезу.

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, позволяющие по a найти критические точки z_kp, удовлетворяющие требованию (7.1).

Дата добавления: 2014-12-27