Сравнение исправленной выборочной дисперсии с генеральной дисперсией

Пусть из генеральной совокупности, распределенной нормально c неизвестной генеральной дисперсией s²₀, извлечена выборка объёма n и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия S² с k = n – 1 степенями свободы. Требуется установить насколько различаются исправленная выборочная дисперсия и предполагаемая генеральная дисперсия. Нулевую гипотезу можно записать в виде:

H0: M (S^2) = s^20.

(7.2)

В нулевой гипотезе (7.2) принимается, что математическое ожидание исправленной выборочной дисперсии равно предполагаемой генеральной дисперсии.

В качестве статистического критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину:

.

(7.3)

Эта величина случайная, так как в разных опытах S² принимает различные значения, имеет распределение по закону «Хи – квадрат» c² с k = n–1 степенями свободы.

Рассматривается один из возможных случаев.

Нулевая гипотеза:

H0: s^2 = s^20.

(7.4)

Конкурирующая гипотеза:

H1: s^2 > s^20.

(7.5)

Для данного случая строится правосторонняя критическая область. При этом ставится условие, чтобы вероятность попадания критерия в эту область будет равна принятому уровню значимости a, с учётом справедливости нулевой гипотезы:

P (c^2 > c^2kp (a; k)) = a.

(7.6)

Критическую точку c²_kp (a; k) находят по таблице критических точек распределения c² (Приложение 3).

Тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством:

c² > c²_kp.

Область принятия нулевой гипотезы определяется неравенством:

c² < c²_kp.

Значение критерия c² вычисляется по данным наблюдений по формуле (7.3) и обозначается c²_набл. Тогда нулевую гипотезу о параметрах распределения:

1. Отвергают при выполнении условия:

c^2набл > c^2kp.

(7.7)

1. Принимают при условии:

c^2набл < c^2kp.

(7.8)

Пример 1. Из генеральной совокупности, распределенной нормально, извлечена выборка объёма n = 21 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия S² = 25.

Требуется проверить нулевую гипотезу, которая принимается по (7.4), предполагая неизвестное значение генеральной дисперсией равным 20.

Нулевая гипотеза: H₀: s² = s²₀ = 20.

Конкурирующая гипотеза принимается по (7.5). H₁: s² > 20.

Задаётся минимальный уровень значимости a = 0,01.

Таким образом, в задаче дано:

n = 21. S² = 25. s²₀ = 20. a = 0,01.

Решение.

По формуле (7.3) можно найти наблюдаемое значение критерия:

.

По таблице критических точек распределения c² (Приложение 3), зная уровень значимости a = 0,01 и число степеней свободы: k =n–1=20, можно найти критическую точку:

c²_kp (a=0,01; k=20)=37,6.

Так как конкурирующая гипотеза по условию: H₁: s² > 20, то критическая область правосторонняя. Наблюдаемое значение критерия c²_набл=25, критическое значение статистического критерия c²_kp =37,6.

По (7.8), если c²набл < c²_kp, нулевая гипотеза о параметрах распределения принимается.

В итоге можно сформулировать алгоритм проверки гипотез о параметрах распределения:

1. Выбрать нулевую – H₀ и конкурирующую – H₁ гипотезы.
2. Задать уровень значимости a.
3. Выбрать статистический критерий c².
4. По формуле (7.3) найти c²_набл.
5. Найти критическую точку c²_kp (a; k) по таблице Приложения 3.
6. Принять решение по выдвинутой гипотезе.

Решение носит вероятностный характер. Поэтому, если выдвинутая гипотеза не подтверждается, то делают заключение, что данные эксперимента не подтверждают гипотезу H₀.

7.4. Вопросы для самоконтроля по теме «Элементы математической статистики»

1. Определите правильный ответ.

По статистическому распределению выборки установите её объём:

xi
ni

a) 11; b) 30; c) 18; d) 13.

2. Определите правильный ответ.

Статистическое распределение выборки имеет вид:

xi
ni

Тогда объём предложенной выборки равен:

a) 20; b) 80; c) 18; d)13.

3. Определите правильный ответ.

Средняя выборочная вариационного ряда 1,2,3,3,4,5 равна:

a) 2; b) 3; c) 5; d) 10.

4. Определите правильный ответ.

Дана выборка объема n = 5: -4, -2, 2, 6, 8. Выборочное среднее`x равно:

a)`x = 3,0; b)`x = 2,0; c)`x = 1,2; d)`x = 2,5.

5. Определите правильный ответ.

Дана выборка объема n = 5: -2, -1, 1, 3, 4. Выборочное среднее`x и выборочная дисперсия S² равны:

a)`x=1; S<sup>2</sup>=5,2; b)`x=2; S²=4; c)`x=3; S<sup>2</sup>=8; d)`x=1,5; S²=7.

6. Определите правильный ответ.

Дано статистическое распределение выборки:

xi	-3
pi	0,4	0,2	0,3	0,1

Выборочное среднее`x равно:

a)`x = 2,4; b)`x = 2,0; c)`x = 1,5; d)`x = 1,0.

7. Определите правильный ответ.

Дано статистическое распределение выборки:

xi	-2
pi	0,4	0,2	0,3	0,1

Выборочное среднее`x и выборочная дисперсия S² равны:

a)`x = 2; S<sup>2</sup> = 0; b)`x = 0,1; S² = 7; c)`x = 0; S<sup>2</sup> = 30; d)`x =1,2; S² = 30.

8. Определите правильный ответ.

Дана выборка объема n = 5: -6, -4, 0, 4, 6. Выборочное среднее`x и выборочная дисперсия S² равны:

a)`x = 0,5; S<sup>2</sup> = 12; b)`x = 0; S² = 20,8; c)`x = 2; S<sup>2</sup> = 5,2; d)`x = 1; S² = 208.

9. Определите правильный ответ.

Дана выборка объема n = 5: -3, -2, 0, 2, 3. Выборочное среднее`x и выборочная дисперсия S² равны:

a)`x= 0; S<sup>2</sup>=5,2; b)`x= 1; S²=6; c)`x= 2; S<sup>2</sup>=26; d)`x= 3; S²=7.

10. Определите правильный ответ.

Дана выборка объема n = 10. Статистическое распределение этой выборки имеет вид:

xi
pi	0,4	0,1	0,2	0,3

Тогда выборочное среднее`x для этой выборки равно:

a)`x =3,0; b)`x =3,3; c)`x =4,0; d)`x =3,4.

11. Определите правильный ответ.

Дана выборка объема n = 5: 2, 3, 5, 7, 8. Выборочное среднее`x и выборочная дисперсия S² равны:

a)`x= 6; S<sup>2</sup>=22; b)`x= 5; S²=5,2; c)`x= 6; S<sup>2</sup> =26; d)`x= 4; S²=10.

12. Определите правильный ответ.

Дано статистическое распределение выборки:

xi	-1
pi	0,4	0,2	0,3	0,1

Выборочное среднее`x и выборочная дисперсия S² равны:

a)`x = 2, S<sup>2</sup> = 17,6; b)`x = 1,5, S² = 42; c)`x = 3, S<sup>2</sup> = 7; d)`x = 1, S² = 30.

Дата добавления: 2014-12-27