Постановка задачи. Тема 6.3. Интерполяция функций

Тема 6.3. Интерполяция функций

6.3.1. Постановка задачи

6.3.2. Интерполяционная формула Лагранжа

6.3.3. Интерполяционные формулы Ньютона

6.3.3.1. Конечные разности

6.3.3.2. Первая интерполяционная формула Ньютона

6.3.3.3. Вторая интерполяционная формула Ньютона

6.3.4. Сплайн – интерполяция

6.3.5. Сравнение интерполяционных многочленов по применению

6.3.6. Технология интерполяции функций в среде математических пакетов

Вычисление значений функции y = f(x) – одна из тех задач, с которой приходится постоянно сталкиваться в инженерной практике. Однако сделать это не всегда возможно. Примером тому следующие типичные ситуации:

· функция задана таблицей значений (нет аналитического выражения)
, (i = 0, 1, 2,…, n), необходимо вычислить значения функции в точках, не совпадающих с табличными;

· аналитическое выражение f(x) есть, но получение ее значений затруднено громоздкими и сложными вычислениями;

· значения функции в требуемых точках могут быть получены только экспериментально.

В этих и ряде других случаев возникает необходимость приближенного вычисления функции y = f(x).

Задача аппроксимации состоит в следующем. Функцию f(x), заданную таблично, требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией j(х ) так, чтобы отклонение j(х) от f(x) в некоторой области удовлетворяло заданному условию. Функция j(х) называется аппроксимирующей функцией.

В качестве аппроксимирующей функции часто используют алгебраический многочлен вида:

j_m(x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x² + … + a _m x^m . ( 6.3.1-1 )

В этом случае говорят о параболической аппроксимации.

Частным случаем задачи аппроксимации таблично заданной функции является интерполирование. Интерполирование состоит в следующем. Для функции y = f(x), заданной в (n + 1) точке , найти функцию j(х), принимающую в этих точках заданные значения, то есть

, i = 0, 1, 2, … n. ( 6.3.1-2 )

Будем называть (6.3.1-2) условием интерполяции, точки – узлами интерполяции, а функцию j(х) – интерполирующей функцией.

При интерполяции критерием приближения аппроксимирующей функции к заданной является совпадение их значений в узлах интерполяции.

Геометрической интерпретацией задачи интерполяции является нахождение функции, график которой проходит через заданную систему точек , i = 0, 1, …, n (рис. 6.3.1-1). Если в качестве интерполирующей функции используется алгебраический многочлен
(6.3.1-1) степени не выше n, то задача имеет единственное решение.

___ интерполируемая функция   ----- интерполирующая функция

Рис.6.3.1-1

Применяя интерполирующую функцию (6.3.1-1), запишем условие (6.3.1-2) для каждого из (n + 1 ) узлов. В результате получим следующую систему (n + 1) линейных уравнений:

Эта система однозначно разрешима, так как ее определитель (определитель Вандермонда) отличен от нуля, если узлы интерполяции различны. Решение полученной системы n+1 линейных уравнений относительно неизвестных а₀, а₁, …, а_n позволяет найти коэффициенты интерполирующего многочлена (6.3.1-1).

Пример 6.3. 1-1.Пусть функция y = f(x) задана таблично:

xi		1.2	1.4	1.6	1.8
y i		-0.16	-0.24	-0.24	-0.16

Требуется построить интерполяционный многочлен, позволяющий вычислить значение f(x) в точке x = 1.43.

Полагая x₀ = 1.2, x₁ = 1.4, x₂ = 1.6,

y₀ =-0.16, y₁ = -0.24, y₂ = -0.24, получим систему уравнений

Решая систему уравнений, получим следующие значения а₀ = 2, а₁ = -3, а₂ = 1. Тогда интерполяционный многочлен имеет следующий вид: P₂(x) = 2 – 3x + x², а значение многочлена в точке 1.43 равно P₂(1.43) = - 0.2451.

Дата добавления: 2014-12-27