Формула Симпсона. Разобьем интервал интегрирования [a;b] на n равных отрезков (рис

Формула трапеций

Разобьем интервал интегрирования [a;b] на n равных отрезков (рис. 6.4.3-1) и восстановим из полученных точек a, х₁, x₂, …, b перпендикуляры до пересечения с графиком функции. Соединив последовательно точки пересечения, представим площадь полученной криволинейной трапеции как сумму прямолинейных трапеций, площади которых легко подсчитать. Заменив подынтегральную функцию f(x) в пределах элементарного отрезка [x_i;x_i+1] интерполяционным многочленом первой степени, получим следующие формулы для элементарных площадей:

Рис. 6.4.3-1

Тогда общая площадь равна:

Отсюда получаем формулу трапеций:

(6.4.3-1)

Для получения формулы Симпсона применяется квадратичный интерполирующий полином, следовательно, за элементарный интервал интегрирования принимается отрезок [x_i;x_i+2]. Поэтому разобьем интервал интегрирования [a;b] наn отрезков, где n=2m – четное число (рис. 6.4.4-1).

Рис. 6.4.4-1

Для получения интерполирующей функции на интервале [x_i;x_i+2] воспользуемся первой интерполяционной формулой Ньютона, используя в качестве узлов интерполяции точки x_i, х_i+1 и x_i+2.

(6.4.4-1)

В пределах отрезка [x_i;x_i+2], на котором подынтегральная функция аппроксимирована многочленом (6.4.4-1), получим приближенную формулу Симпсона:

(6.4.4-2)

Для отрезка [x₀;x₂]

Для отрезка [x₂;x₄]

Тогда для всего интервала интегрирования [a;b] формула Симпсона выглядит:

или

при (6.4.4-3)

Дата добавления: 2014-12-27