Проверка гипотезы о независимости

Оценка коэффициента корреляции.

Точечными оценками математических ожиданий и дисперсий координат вектора и в соответствии с разделом 1.1 являются выборочные средние и выборочные дисперсии:

, ,

, .

Аналогичным усреднением находится и оценка корреляционного момента , называемая выборочным корреляционным моментом:

.

С учетом этого оценка коэффициента корреляции , называемая выборочным коэффициентом корреляции, определяется по формуле:

=

.

В общем случае для проверки гипотезы о независимости случайных величин и можно воспользоваться критерием независимости проверки гипотезы , заключающейся в том, что функция распределения случайного вектора

,

где и - одномерные функции распределения координат вектора.

Статистика критерия независимости имеет вид (см. [3, разд. 3.5]):

,

где и – число интервалов группировки выборочных значений случайных величин и соответственно; и - частоты интервалов группировки выборочных значений случайных величин и соответственно; - частота прямоугольника, сторонами которого являются -й интервал группировки выборочных значений случайной величины и -й интервал группировки выборочных значений случайной величины .

Гипотезу отвергают тогда, когда вычисленное по заданной выборке значение статистики удовлетворяет неравенству , где является -квантилью распределения с степенями свободы. В противном случае гипотезу принимают.

В случае нормального распределения случайного вектора равенство коэффициента корреляции нулю означает одновременно и независимость координат вектора. Поэтому гипотеза о независимости случайных величин и в этом случае может быть сформулирована как гипотеза .

Статистикой критерия для проверки данной гипотезы является величина: , где - выборочный коэффициент корреляции.

В случае справедливости значение величины не должно существенно отличаться по модулю от нуля. Поэтому критическая область критерия для проверки является двусторонней (в отличие от критерия ) и задается в виде , где - значение величины , полученное для заданной выборки, а порог определяется по заданному уровню значимости так, чтобы .

Поскольку (см. [3, разд. 3.5] и [4, разд. 4.8.1]) при больших (практически при ) в случае справедливости гипотезы случайная величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы, то для заданного уровня значимости можно положить , где является 1— /2 - квантилью распределения .

Таким образом, критерий для проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции состоит в следующем:

1. По заданному уровню значимости находится по табл. П3 порог
.

2. По заданной выборке вычисляется значение статистики .

3. Если , то гипотезу отвергают и делают вывод о том, что случайные величины и являются зависимыми.

4. Если , то гипотезу принимают и считают, что случайные величины и являются независимыми.

Замечание. В общем случае (отличном от нормального) гипотеза является гипотезой о некоррелированности случайных величин и и известна также как гипотеза о значимости коэффициента корреляции.

Дата добавления: 2014-12-27