Двойные интегралы

Пусть функция z=f (x,y)определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D плоскости O_xy. Разобьем область D произвольным образом на n областей S ₁, S ₂, …, S_n, которые назовем элементарными областями. В каждой из элементарных областей произвольным образом выберем по точке: , , которые назовем точками пунктуации. Обозначим через - площадь, через - диаметр i- ойэлементарной области (i= 1,…, n), . Составим выражение

(1)

Выражение (1) называется интегральной суммой Римана для функции z=f (x,y)по области D. Заметим, что она зависит от способа разбиения области D на элементарные области и от способа выбора точек пунктуации.

Если существует предел интегральной суммы Римана (1) при , и этот предел не зависит ни от способа разбиения области на элементарные области, ни от выбора точек пунктуации, то он называется двойным интегралом от функции z=f (x,y)по области D и обозначается

Таким образом,

(2)

Свойства двойных интегралов аналогичны свойствам определенных интегралов. Отметим два, наиболее часто используемых на практике, свойства.

1) Свойство линейности. Если функции f (x,y)и g(x,y) интегрируемы по области D, то справедлива формула:

2) Свойство аддитивности. Если область D разбита на две области D ₁ и D ₂ без общих точек, и функция f (x,y)интегрируема во всех точках области D, то справедлива формула:

Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом. Пусть область D ограничена слева и справа вертикальными прямыми x=a, x=b, а снизу и сверху – кривыми ,причем - непрерывны и на промежутке [ a,b ](Рис.1).Такую область назовем правильной в направлении оси Oy. Тогда

, (3)

причем сначала вычисляется интеграл по переменной y (x - параметр), а полученный результат интегрируется по x.

Рис.1.

Заметим, что если кривая (или ) на промежутке [ a,b ]задается различными аналитическими выражениями, например,

,

то интеграл справа в (3) записывается в виде суммы двух интегралов:

.

Аналогично, пусть область D ограничена снизу и сверху горизонтальными прямыми y=c, y=d, а слева и справа - кривыми , причем непрерывны и на промежутке [ c,d ](Рис.2). Такую область назовем правильной в направлении оси Ox. Тогда

(4)

Рис. 2

Теорема (о замене переменных в двойном интеграле)

Пусть выполняются условия:

1) функции x=x (u, v) и y=y (u, v)таковы, что каждой точке с координатами (x, y) из области D соответствует единственная точка с координатами (u, v) из области D ₁ и наоборот;

2) функции x=x (u, v) и y=y (u, v)имеют непрерывные частные производные по переменным u и v в области D ₁;

3) функция z=f (x, y) определена и интегрируема в области D.

Тогда справедлива формула:

, (5)

где

- якобиан перехода от декартовых координат к криволинейным координатам.

Частным случаем криволинейных координат для двойного интеграла являются полярные координаты:

,

для которых якобиан равен и формула (5) примет вид:

(6)

Задание 1. Вычислить повторный интеграл: .

Решение. Вычислим сначала интеграл по переменной y (x - параметр). Имеем

.

Полученный интеграл является обычным определенным интегралом. Окончательно имеем

.

Задание 2. Записать данный двойной интеграл в виде повторных, взятых в различных порядках:

,

область интегрирования D ограничена линиями x= 2, y=x, y= 1 /x.

Решение. Построим область интегрирования D (рис.3).

1)По формуле (3) при a= 1, b= 2, получаем

.

Рис. 3.

2) Если же для вычисления данного интеграла применить формулу (4), то надо положить c= 1/2, d= 2, , .

Тогда

.

Задание 3. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:

.

Решение. Область интегрирования D ограничена снизу кривой

,

сверху кривой

и представлена на рис. 4.

Рис. 4.

Поэтому имеем

.

Задание 4. Перейдя к полярным координатам, вычислить интеграл:

.

Решение. Положим

и применим формулу (6). Так как , то

.

Областью интегрирования исходного интеграла является четверть круга радиуса R=1 с центром в начале координат (рис. 5).

Рис. 5.

Следовательно, в области D ₁ изменяется от 0 до 1 и . Таким образом, имеем:

.

Дата добавления: 2014-12-27