Корректность задачи

Решение систем линейных алгебраических уравнений

5.1. Постановка задачи

Рассматривается система n линейных алгебраических уравнений (сокращенно - СЛАУ) с n неизвестными

(5.1)

где a_ij - заданные коэффициенты, b_i - известные свободные члены. Требуется решить СЛАУ (1), то есть, найти такие значения , которые при подстановке их в уравнения (5.1), обращали бы их в тождества.

СЛАУ (1) удобно записывать в символической форме

(5.2)

или в символической матричной форме:

,(5.3)

где матрицы имеют следующий вид:

, , . (5.4)

Далее будем предполагать, что и, т.о., СЛАУ (1) имеет решение и оно единственно.

Задача поставлена корректно, если:

1) решение задачи существует;

2) оно единственно,

3) решение непрерывно зависит от входных данных.

Входные данные задачи (5.1) () задаются с погрешностью и тогда вместо (5.1) в действительности будет решаться задача

. (5.5)

Рассмотрим два частных случая:

1) . Тогда из (5.3), (5.5) следует

; (5.6)

2) . Тогда из (5.5) следует

. (5.7)

В формулах, связывающих относительные погрешности решения с относительными погрешностями задания правых частей (5.6) и коэффициентов матрицы (5.7), фигурирует множитель

, (5.8)

который называется числом обусловленности. Если это число велико (), то небольшие погрешности входных данных приводят к большим погрешностям решения. Такие матрицы (и соответствующие СЛАУ) называются плохо обусловленными и решение таких СЛАУ может быть связано со значительными трудностями. В противном случае матрицы (и соответствующие СЛАУ) называются хорошо обусловленными.

Дата добавления: 2014-12-27