Обращение матриц

Для обращения матрицы A с помощью LU-разложения можно N -кратно использовать формулы (1.6)–(1.7) для получения столбцов матрицы А ^–1; при этом в качестве bi в (1.6) должны фигурировать только 0 и 1: для нахождения первого столбца полагают b ₁=1, b ₂=0, b ₃=0, … = b_N =0, для второго b ₁=0, b ₂=1, b ₃=0, … = b_N =0, и тд. В результате после окончания N шагов на месте исходной матрицы A находится ее обратная матрица А ^–1.

Пример использования метода обращения матриц в системе TALGAT:

- действительный случай: SET "lu_inv" LU_INV_r real_m;

- комплексный случай: SET " lu_inv " LU_INV complex_m.

1.5 Метод исключения Жордана (Гаусса – Жордана)

Одной из модификаций, описанного выше, метода Гаусса является подход, предложенный Жорданом, позволяющий получить решения с помощью только прямого хода. Различие этих двух методов заключается в том, что при реализации последнего элементы матрицы обнуляются как под, так и над главной диагональю. В результате данного подхода вектор решение находится на месте вектора свободных членов, а на месте исходной матрицы находится единичная.

Рассмотрим подробнее данный метод без выбора, ведущего элемента.

´

Пусть a ₁₁ ведущий элемент. На первом этапе первая строка подвергается нормировке ведущим элементом, а затем аналогично методу Гаусса происходит обнуление поддиагональных элементов. В результате первого этапа получаем эквивалентную систему.

´

На втором этапе после нормировки второй строки на , аналогично методу Гаусса обнуляют поддиагональные элементы, а также и наддиагональный. Продолжая процесс подобным образом на месте исходной матрицы получим единичную и, соответственно, на месте вектора свободных членов вектор решение.

Далее приведен алгоритм метода Гаусса-Жордана.

Алгоритм метода Гаусса - Жордана

Для k = 1, 2,…, N

b_k = b_k / a_kk

Для j = N, N – 1, …, k

a_kj = a_kj / a_kk

Увеличить j

Для i = 1, 2,… k – 1, k + 1, …, N

b_i = b_i – a_ik b_k

Увеличить i

Для j = N, N – 1, …, k

Для i = 1, 2,… k – 1, k + 1, …, N

a_ij = a_ij – a_ik a_kj

Увеличить i

Увеличить i

Увеличить k

Для повышения точности используют модификацию с частичным или полным выбором ведущего элемента. Для введения частичного упорядочивания необходимо, как и в алгоритме метода Гаусса, сделать вставку, приведенную в разделе 1.1.

Пример использования метода Гаусса - Жордана в системе TALGAT

без упорядочивания по столбцам:

- действительный случай: SET "solve" GJE_r real_m right_r;

- комплексный случай: SET "solve" GJE complex_m right_c;

с частичным упорядочивание по столбцам:

- действительный случай: SET "solve" PGJE_r real_m right_r;

- комплексный случай: SET "solve" PGJE complex_m right_c.

Дата добавления: 2014-12-27