Построение математической модели

Для построения математической модели задачи линейного программирования нужно ответить на три вопроса

1. Какие переменные величины должны быть определены?

2. В чем состоит цель? Какая функция (целевая функция) переменных задает величину достижения цели?

3. Каким ограничениям должны удовлетворять переменные?

В рассматриваемом примере имеем.

1. Руководству фабрики требуется определить:

x ₁ – объем производства краски K ₁;

x ₂ – объем производства краски K ₂.

2. Цель – увеличение выручки. Целевая функция – объем выручки

.

Требуется максимизировать целевую функцию.

3. Ограничения. По запасу продукта A. При плане (x ₁, x ₂) выпуска краски, будет израсходовано продукта A. Суточный запас этого продукта составляет 8т, следовательно, за сутки нельзя израсходовать более этого запаса. Получаем неравенство

.

Аналогично по продукту B получаем неравенство

.

Из соотношения спроса на K ₁ и K ₂ получаем

.

Из ограничения на суточный спрос краски K ₁ получаем

.

Так как нельзя произвести отрицательное количество краски, то

.

Все вместе будет иметь следующий вид

(1.1)

Полученная задача является стандартной задачей на максимум. В общем виде стандартная задача на максимум имеет вид

(1.2)

Стандартная задача на минимум имеет вид

(1.3)

Общая задача линейного программирования имеет вид

(1.4)

Здесь x _j – произвольного знака при . Таким образом, первые m ограничений являются неравенствами типа ≤; ограничения с номерами от m +1 до l – равенства; ограничения с номерами от l +1 до k являются неравенствами типа ≥.

Определение 1.2.1. Линейная функция называется целевой функцией.

Определение 1.2.2. Множество X всех точек , удовлетворяющих ограничениям задачи ЛП, называется допустимым множеством, а любая точка x X называются допустимым планом.

Задача линейного программирования состоит в нахождении допустимого плана, доставляющего максимум (минимум) целевой функции на множестве допустимых планов.

Дата добавления: 2014-12-27