Понятие нечеткого множества

По традиции четкие множества принято иллюстрировать кругами с резко оконтуренными границами. Нечеткие же множества – это круги, образованные отдельными точками: в центре круга точек много, а ближе к периферии их густота уменьшается до нуля; круг как бы растушевывается на краях. Такие «нечеткие множества» можно увидеть... в тире – на стене, куда вывешиваются мишени. Следы от пуль образуют случайные множества, математика которых известна. Оказалось, что для оперирования нечеткими множествами годится уже давно разработанный аппарат случайных множеств...

Понятие нечеткого множества – попытка математической формализации нечеткой информации с целью ее использования при построении математических моделей сложных систем. В основе этого понятия лежит представление о том, что составляющие данное множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать этим свойством в различной степени и, следовательно, принадлежать данному множеству с различной степенью.

Один из простейших способов математического описания нечеткого множества – характеризация степени принадлежности элемента множеству числом, например, из интервала [0,1]. Пусть Х – некоторое множество элементов. В дальнейшем мы будем рассматривать подмножества этого множества.

Нечетким множеством А в Х называется совокупность пар вида (x, m _A(x)), где xÎX, а m _А – функция x ® [0,1], называемая функцией принадлежности (membership function) нечеткого множества А. Значение m _A(x) этой функции для конкретного x называется степенью принадлежности этого элемента нечеткому множеству А.

Как видно из этого определения, нечеткое множество вполне описывается своей функцией принадлежности, поэтому мы часто будем использовать эту функцию как обозначение нечеткого множества.

Обычные множества составляют подкласс класса нечетких множеств. Действительно, функцией принадлежности обычного множества B Ì X является его характеристическая функция: m _В(x) =1, если x Î B и m _В(x) =0, если x Ï B. Тогда в соответствии с определением нечеткого множества обычное множество В можно также определить как совокупность пар вида (x, m _В(x)). Таким образом, нечеткое множество представляет собой более широкое понятие, чем обычное множество, в том смысле, что функция принадлежности нечеткого множества может быть, вообще говоря, произвольной функцией или даже произвольным отображением.

Мы говорим нечеткое множество. А множество чего? Если быть последовательным, то приходится констатировать, что элементом нечеткого множества оказывается... новое нечеткое множество новых нечетких множеств и т.д. Обратимся к классическому примеру – к куче зерна. Элементом этого нечеткого множества будет миллион зерен, например. Но миллион зерен это никакой не четкий элемент, а новое нечеткое множество. Ведь считая зерна (вручную или автоматически), немудрено и ошибиться – принять за миллион 999 997 зерен, например. Тут можно сказать, что элемент 999 997 имеет значение функции принадлежности к множеству “миллион”, равное 0.999997. Кроме того, само зерно – это опять же не элемент, а новое нечеткое множество: есть полноценное зерно, а есть два сросшихся зерна, недоразвитое зерно или просто шелуха. Считая зерна, человек должен какие-то отбраковывать, принимать два зерна за одно, а в другом случае одно зерно за два. Нечеткое множество не так-то просто запихнуть в цифровой компьютер с классическими языками: элементами массива (вектора) должны быть новые массивы массивов (вложенные вектора и матрицы, если говорить о Mathcad). Классическая математика четких множеств (теория чисел, арифметика и т.д.) – это крюк, с помощью которого человек разумный фиксирует (детерминирует) себя в скользком и нечетком окружающем мире. А крюк, как известно, – инструмент довольно грубый, нередко портящий то, за что им цепляются. Термины, отображающие нечеткие множества – «много», «слегка», «чуть-чуть» и т.д. и т.п., – трудно «запихнуть» в компьютер еще и потому, что они контекстно зависимы. Одно дело сказать «Дай мне немного семечек» человеку, у которого стакан семечек, а другое дело – человеку, сидящему за рулем грузовика с семечками.

Нечеткое подмножество А множества Х характеризуется функцией принадлежности m _A: Х→ [0;1], которая ставит в соответствие каждому элементу x Î X число m _A(x) из интервала [0; 1], характеризующее степень принадлежности элемента х подмножеству А. Причем 0 и 1 представляют соответственно низшую и высшую степень принадлежности элемента к определенному подмножеству.

Дадим основные определения.

· Величина sup m _A (x) называется высотой нечеткого множества A. Нечеткое множество A нормально, если его высота равна 1, т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1. При sup m _A (x)<1 нечеткое множество называется субнормальным.

· Нечеткое множество называется пустым, если его функция принадлежности равна нулю на всем множестве Х, т.е. m₀ (x)= 0 " x Î X.

Нечеткое множество пусто, если " x Î E m _A(x)=0. Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

(рис. 1).

Рис.1. Нормализация нечеткого множества с функцией принадлежности. .

Носителем нечеткого множества А (обозначение supp A) с функцией принадлежности m _A(x) называется множество вида suppA ={ x|x Î X, m _A(x)> 0}. Для практических приложений носители нечетких множеств всегда ограничены. Так, носителем нечеткого множества допустимых режимов для системы может служить четкое подмножество (интервал), для которого степень допустимости не равна нулю (рис.2).

Рис.2. Понятие носителя нечеткого множества (выделен жирной чертой)

· Точкой перехода А называется элемент х множества Х, для которого m _A (x)=0,5.

· Ядром нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества U, элементы которого имеют степени принадлежности, равные единице, . Ядро субнормального нечеткого множества пусто.

· α - сечением (или множеством α -уровня) нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества U, элементы которого имеют степени принадлежности, большие или равные α: .

Рис. 3. Ядро, носитель и α- сечение нечеткого множества

Значение α называют α -уровнем. Носитель (ядро) можно рассматривать как сечение нечеткого множества на нулевом (единичном) α -уровне.

Рис. 3 иллюстрирует определения носителя, ядра, α - сечения и α - уровня нечеткого множества.

Дата добавления: 2014-12-27