Метод итерации (последовательных приближений)

Метод касательных (метод Ньютона).

Шаг.

Шаг.

Шаг.

.

Составим разность . Так как , то требуемая точность не достигнута и процесс нахождения приближенного значения корня уравнения (2).

.

Составим разность . Так как , то требуемая точность достигнута и процесс нахождения приближенного значения корня уравнения (2) закончен.

Следовательно, с точностью до 0,01 приближенное значение корня уравнения (2) х^*= 0,567.

Ответ. с точностью до ε= 0,01.

Пример 2. Методом хорд найти приближенное значение положительного действительного корня уравнения с точностью до ε= 0,01.

Решение.

1 этап. Отделим корни уравнения . В примере 2 п. 2.2.1. было показано, что точное значение положительного корня х^* данного уравнения лежит на отрезке [1,8; 2].

2 этап. Рассмотрим функцию и найдем её первую и вторую производные. Так как , и , при х [1,8; 2], то вычисление приближенного значения корня будем проводить по формулам (4).

1 шаг. Так как

то в результате имеем:

.

.

Составим разность то требуемая точность достигнута и процесс нахождения приближенного значения корня уравнения закончен.

Следовательно, с точностью до 0,01 приближенное значение корня данного уравнения х^*= 1,8927.

Ответ. с точностью до ε= 0,01.

Пусть на отрезке [ a; b ] функция f(x) непрерывна и дважды дифференцируема, на концах отрезка принимает значения разных знаков, т. е. f(a)f(b)< 0, и не обращаются в ноль не в одной точке. Тогда уравнение (1) на отрезке [ a; b ] имеет единственное действительное решение х^*, приближенное значение которого можно найти, используя метод касательных (метод Ньютона).

Изобразим схематически графики четырех типов расположения дуги функции f (x) на отрезке [ a; b ] (рис. 9 – 12).

А

Рисунок 9

В

х

у

О

а

х ^*

х ₁

х ₂

х ₃

b

В ₁

В ₂

В ₃

А

х ₁

х ₂

х ^*

А ₁

А ₂

Рисунок 10

х

у

О

а

b

В

Рисунок 12

х

у

О

а

А

В

b

В ₁

В ₂

х ^*

х ₁

х ₂

А

Рисунок 11

х

у

О

b

х ^*

х ₂

А ₁

а

х ₁

х ₃

А ₂

А ₃

В

Рассмотрим два случая: 1) ; 2) .

1 случай. на [ a; b ], т. е. либо и на [ a; b ] (см. рис. 9), либо и на [ a; b ] (см. рис. 12).

Построим алгоритм нахождения приближенного значения корня уравнения (1) в данном случае.

1 шаг. Через точку B (b; f (b)) проведем касательную к графику функции y=f (x), уравнение которой имеет вид:

или

Положив у= 0, найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох:

Подставив значение в уравнение графика функции y=f (x), найдем значение: . Обозначим через В ₁ точку с координатами , т. е. В ₁ .

2 шаг. Через точку В ₁ проведем касательную к графику функции y=f (x), уравнение которой имеет вид:

или

Положив у= 0, найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох:

Подставив значение в уравнение графика функции y=f (x), найдем значение: . Обозначим через В ₂ точку с координатами , т. е. В ₂ .

3 шаг. Через точки В ₂ проведем касательную к графику функции y=f (x), уравнение которой имеет вид:

или

Положив у= 0, найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох:

И так далее.

В результате получим последовательность , сходящуюся к точному значению корня х^* уравнения (1). Процесс построения последовательности , т. е. нахождения приближенного значения корня уравнения (1) с заданной точностью заканчиваем после выполнения неравенства .

(6)

Следовательно, в первом случае вычисления производятся по формулам:

где i= 1, 2, 3, ….

2 случай. на [ a; b ], т. е. либо и на [ a; b ] (см. рис. 10), либо и на [ a; b ] (см. рис. 11).

Алгоритм решения задачи в этом случае будет таким же, как и в первом случае, только первая касательная будет проводиться через точку A (a; f (a)) графика функции y=f (x).

А вычисления в этом случае будут проводиться по формулам:

(7)

где i= 1, 2, 3, ….

Пример 1. Методом касательных найти приближенные значения действительных корней уравнения с точностью до ε= 0,01.

Решение.

1 этап. Уравнение имеет единственный действительный корень х^*, который расположен на отрезке [0,5; 1] (см. пример п. 2.1.).

2 этап. Рассмотрим функцию и найдем её первую и вторую производные. Так как , и , при х [0,5; 1], то вычисление приближенного значения корня будем проводить по формулам (7). Построим схематически график функции (рис. 13).

-0,193

х ₁

Рисунок 13

х

у

О

х ^*

х ₂

А

0,5

А ₁

А ₂

В

1 шаг. Координаты точки А (0,5; -0,193), следовательно,

В результате имеем:

2 шаг. Так как =2,773, то

.

Составим разность . Так как , то требуемая точность достигнута и процесс нахождения приближенного значения корня уравнения (2) закончен.

Следовательно, с точностью до 0,01 приближенное значение корня уравнения (2) х^*= 0,567.

Ответ. с точностью до ε= 0,01.

Пример 2. Методом касательных найти приближенное значение положительного действительного корня уравнения с точностью до ε= 0,01.

Решение.

1 этап. Отделим корни уравнения . В примере 2 п. 2.2.1. было показано, что точное значение положительного корня х^* данного уравнения лежит на отрезке [1,8; 2].

2 этап. Рассмотрим функцию и найдем её первую и вторую производные. Так как , и , при х [1,8; 2], то вычисление приближенного значения корня будем проводить по формулам (6).

1 шаг. Координаты точки В (2; 1), так как

.

В результате имеем:

2 шаг. Так как , то

.

Составим разность , то требуемая точность достигнута и процесс нахождения приближенного значения корня уравнения закончен.

Следовательно, с точностью до 0,01 приближенное значение корня данного уравнения х^*= 1,8933.

Ответ. с точностью до ε= 0,01.

Предположим, что нам удалось найти достаточно малый промежуток [ a; b ]содержащий ровно один действительный корень уравнения (1), и что функция f (x) непрерывна и дифференцируема во всех точках данного промежутка.

Заменим уравнение (1) уравнением вида: х = φ (х), равносильным данному. Это всегда можно сделать и притом многими способами.

Так, например, уравнение легко заменяется следующими равносильными уравнениями:

(здесь );

(здесь );

(здесь ).

Приведем без доказательства формулировку теоремы, определяющую условия применимости метода итераций.

Теорема. Если уравнение f(x)= 0 и равносильное ему уравнение х = φ (х) имеют ровно один действительный корень на промежутке [ a; b ] и, кроме этого, выполняются условия:

1) на [ a; b ];

2) на [ a; b ],

то метод итераций имеет решение, причем в качестве начального приближения корня можно брать любое действительное значение х ₀ из отрезка [ a; b ].

Дата добавления: 2014-12-27