Ответы

Глава 1

1.1 а) ; б) ; в) ; г) . 1.2 , , . 1.3 1) а) 0,3503, б) 0,35; 2) а) −15,503, б) −16, в) −15,50262; 3) а) 150,1, б) 150, в) 150,06. 1.4 а) −10,6, , ; б) 2,31, , ; в) 0,0503, , ; г) −150, , . 1.5 а) верная; б) сомнительная; в) верная; г) сомнительная; д) верная; е) верная. 1.6 , ; , ; , ; , . 1.7 а) Δ _u = 0,0555, a = 1,5, Δ = 0,0795, u ≈ 1,5 (± 0,0795); б) Δ _u = 0,0555, a = −1,2, Δ = 0,0595, u ≈ −1,2 (± 0,0595); в) Δ _u = 0,0555, a = 0,1, Δ = 0,0895, u ≈ 0,1 (± 0,0895); г) Δ _u = 0,0105, a = −0,14, Δ = 0,0155, u ≈ −0,14 (± 0,0155). 1.8 а) δ_u = 0,0054 (0,54%), a = −22, Δ = 0,453, u ≈ −22 (± 0,453); б) δ_u = 0,0402 (4,02%), a = −0,20, Δ = 0,0115, u ≈ −0,20 (± 0,0115)); в) δ_u = 0,04135 (4,135%), a = 2,6, Δ = 0,1466, u ≈ 2,6 (± 0,1466); г) δ_u = 0,0404 (4,04%), a = 13, Δ = 0,9474, u ≈ 13 (± 0,9474). 1.9 а) Δ _x = 0,075, = 6,8, Δ = 0,09, x ≈ 6,8 (± 0,09); б) δ_x = 0,0022 (0,22%), = 0,2458, Δ = 0,0006, x ≈ 0,2458 (± 0,0006); в) δ_x = 0,008 (0,8%), = 0,150, Δ = 0,0016, x ≈ 0,150 (± 0,0016); г) δ_x = 0,0037 (0,37%), = 2,01, Δ = 0,01, x ≈ 2,01 (± 0,01); д) δ_x = 0,0016 (0,16%), = 0,809, Δ = 0,002, x ≈ 0,809 (± 0,002).

Глава 2

2.1 а) один корень на ; б) один корень на ; в) два корня на и ; г) один корень на ; д) три корня на , и ; е) два корня на и . 2.2 а) −1,66; б) 0,91; в) 2,73; г) 1,20; д) 1,66; е) 0,59. 2.3 а) 1,66; б) 1,45; в) 1,80; г) 1,81; д) −2,90; е) 1,84. 2.4 а) 2,41; б) 3,63; в) 3,00; г) 0,698; д) 1,18; е) 1,34. 2.5 а) 1,12; б) 2,11; в) 0,17; г) −1,33; д) 1,89; е) 1,67. 2.6 а) 3,11; б) 1,17; в) 2,08; г) 1,78; д) 1,44; е) 1,52.

Глава 3

3.1 а) 8,5; б) 2; в) −5,125; г) −0,875; д) −1,25; е) −8,3125. 3.2 а) , , ; б) , , ; в) , , ; г) , , ; д) , , ; е) , , . 3.3 а) 8,5; б) 2; в) −5,125; г) −0,875; д) −1,25; е) −8,3125. 3.4 а) , , ; б) , , ; в) , , ; г) , , ; д) , , ; е) , , .

Глава 4

4.1 а) 9; б) 62; в) 115; г) 805. 4.2 а) (0,2857; 1,5714; 0,7143); б) (−0,375; −1,375; 1,125); в) (0,45; 0,95; 0,7); г) (0,7052; 0,2717; 0,5202); д) (0,4; 0,3; 0,9); е) (−1,8667; 1,5333; 0,7333). 4.3 а) (−0,6013; 0,8924; 1,0886); б) (0,49004; 0,1992; 0,5697); в) (0,3256; 0,0853; 0,6124); г) (0,3187; 0,3108; 0,4104); д) (−0,08602; 0,2688; 1,0108); е) (0,3351; 0,5481; 0,5922). 4.4 а) (0,5; 0,4286; 0,0357; 1,2857; −0,5); б) (−1; 0,5413; 0,5826; 0,8807; 1); в) (1; 0,3163; 0,7907; 0,2078; 0,5); г) (0,5; −0,3844; 1,0968; 0,7151; −1); д) (0,5; 0,5185; 0,912; 0,5648; 0,5); е) (0,5; 0,3636; 1,4545; 1,1515; 1). 4.5 а) (0,382; 0,7896; 0,3995); б) (−0,437; 0,122; −0,171); в) (1,6202; 0,707; 1,431); г) (0,339; 0,3902; 0,144); д) (18,262; 16,526; −19,955); е) (1,322; −4,7704; 2,572). 4.6 а) (−0,437; −0,171; −0,122); б) (0,331; −0,5597; 0,138); в) (0,802; −0,885; −1,7904); г) (0,383; 0,766; 0,403); д) (−4,795; 2,324; 1,456); е) (−0,443; −1,808; −1,675).

Глава 5

5.1 а) ; б) ; в) ; г) . 5.2 а) ; б) ; в) ; г) . 5.3 а) 5; б) 3; в) 3; г) 26. 5.4 а) ; б) ; в) ; г) . 5.5 а) ; б) ; в) ; г) . 5.6 а) ; б) ; в) ; г) . 5.7 а) 6; б) 5; в) 3; г) 81. 5.8 а) ; б) ; в) ; г) . 5.9 а) ; б) ; в) ; г) . 5.10 а) ; б) ; в) ; г) . 5.11 а) 2; б) 4; в) 2; г) 8. 5.12 а) ; б) ; в) ; г) .

Список литературы.

1. Барахнин В.Б., Шапеев В.П. Введение в численный анализ: Учебное пособие. – СПб.: Издательство «Лань», 2005.

2. Григорьев С.Г. Математика: Учебник для студ. сред. проф. учреждений/ С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; Под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский центр «Академия», 2005.

3. Костомаров Д.П., Фаворский А.П. Вводные лекции по численным методам: Учеб. пособие. – М.: Логос, 2004.

4. Самарский А.А. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов. 3-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2005.

Оглавление.

Введение………………………………………………………………………
Глава 1. Погрешность численного решения…………………………….
1.1. Классификация погрешностей……………………………………
1.2. Оценки погрешности округления…………………………………
1.2.1. Абсолютная и относительная погрешность………………
1.2.2. Округление чисел…………………………………………..
1.2.3. Погрешности результатов арифметических операций…..
Упражнения……………………………………………………………..
Глава 2. Численные методы решения нелинейных уравнений………
2.1. Отделение корней………………………………………………….
Упражнения……………………………………………………………..
2.2. Методы численного решения уравнений………………………...
2.2.1. Метод половинного деления (метод вилки)………………
2.2.2. Метод хорд………………………………………………….
2.2.3. Метод касательных (метод Ньютона)……………………..
2.2.4. Метод итерации (последовательных приближений)……..
Упражнения………………………………………………………………
2.3. Заключительные замечания………………………………………...
Глава 3. Интерполирование и приближение функций………………...
3.1. Интерполирование алгебраическими многочленами……………
3.1.1. Общие понятия……………………………………………..
3.1.2. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа………
3.1.3. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона……….
3.1.4. Оценка погрешности интерполирования………………….
Упражнения……………………………………………………………..
3.2. Наилучшее среднеквадратическое приближение………………..
Глава 4. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. Численное решение систем нелинейных уравнений…….
4.1. Точные (прямые) методы решения СЛАУ……………………….
4.1.1. Формулы Крамера…………………………………………..
4.1.2. Метод Гаусса………………………………………………..
4.1.3. Системы с трехдиагональной матрицей. Метод прогонки……………………………………………………………
Упражнения……………………………………………………………..
4.2. Итерационные методы решения СЛАУ…………………………..
4.2.1. Общие понятия……………………………………………...
4.2.2. Метод простой итерации…………………………………...
4.2.3. Метод Зейделя………………………………………………
Упражнения……………………………………………………………..
4.3. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений………
Глава 5. Численное интегрирование……………………………………..
5.1. Формула Ньютона-Лейбница и численное интегрирование……
5.2. Квадратурная формула прямоугольников………………………..
Упражнения……………………………………………………………..
5.3. Квадратурная формула трапеций…………………………………
Упражнения……………………………………………………………..
5.4. Квадратурная формула Симпсона (парабол)……………………..
Упражнения……………………………………………………………..
5.5. Апостериорные оценки погрешности при численном интегрировании…………………………………………………………
Ответы………………………………………………………………………...
Список литературы…………………………………………………………..

[1] Декарт Р. (1596 – 1650) – французский философ, математик, физик и физиолог.

[2] Штурм – рр

[3] Больцано – рр

[4] Коши – рр

[5] Два уравнения называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

[6] Система отрезков называется системой вложенных отрезков, если выполняется .

[7] Вандер-Монд – про

[8] Лагранж – рр

[9] Ньютон – рр

[10] Матрица – таблица состоящая из n строк и m столбцов элементами которой могут быть числа, функции и т.п., если n = m, то матрица называется квадратной.

[11] det – сокращение от латинского determinant – определитель

[12] Крамер – рр

[13] n! – читается «эн факториал». равен произведению первых n натуральных чисел, т.е. . По определению полагают .

[14] Стирлинг – рр

[15] Гаусс – рр

[16] Собственное значение матрицы А – число λ, такое что определитель матрицы А – λЕ равен нулю, т.е. выполняется равенство .

[17] Если , то норма вектора равна .

[18] Норма матрицы А равна верхней границе отношения нормы вектора к норме вектора , т.е.

[19] Зейдель – рр

[20] Точка х ₀ называется неподвижной точкой отображения Ф, если справедливо тождественное равенство .

[21] Отображение Ф заданное на множестве Х называется сжимающим с коэффициентом сжатия q, если такое, что для выполняется .

[22] Лейбниц – рр

[23] Квадратурная формула – (буквально) формула вычисления площади.

[24] Симпсон – рр

[25] N – множество натуральных чисел.

[26] Аппроксимация – тт

Дата добавления: 2014-12-27