Гипербола и ее уравнение

Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами ) есть величина постоянная (меньшая, чем расстояние между фокусами).

Фокусы гиперболы принято обозначать буквами F ₁ и F ₂.

Тогда по определению если точки М ₁ и М ₂ принадлежат эллипсу, то справедливо равенство: .

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: .

Для построения гиперболы, как и эллипса, выделяем из уравнения параметры a и b (а – действительная полуось, b - мнимая полуось ).

На осях координат отмечаем точки А ₁(- a; 0), А ₂(a; 0), В ₁(0; b), В ₂(0; - b). Строим прямоугольник так, как показано на рисунке 7.4.

y

Диагонали прямоугольника (l ₁ и l ₂) являются асимптотами гиперболы (ветви гиперболы ²стремятся² к l ₁ и l ₂, но никогда их не пересекут). Точки А ₁и А ₂ называются вершинами гиперболы.

	М2

Пример 7.4. Постройте гиперболу, заданную уравнением 16 x ² – 25 y ² = 400.

Решение. Приведем уравнение к каноническому виду. Для этого разделим все его члены на 400:

.

Из этого уравнения можем записать a ² = 25, b ² = 16, т.е. a = 5, b = 4.

y

Выполним чертеж (рис. 7.5):

Дата добавления: 2014-12-27