Техника вычисления пределов

Рассмотрим правило нахождения предела функции в точке х_о.

4.1. Если под знаком предела стоит многочлен, то предел вычисляется простой подстановкой (приём замены аргумента его предельным значением).

Пример 9.3. Вычислите: .

Решение. Подставим в многочлен вместо х значение -1, тогда

= .

4.2. Если под знаком предела стоит отношение двух многочленов , то проверяем, обращается ли при подстановке х_о знаменатель в ноль. Если не обращается, то предел вычисляется простой подстановкой (см. пример 9.2).

Если при подстановке х_о знаменатель обращается в ноль, то необходимо использовать дополнительные приемы.

Если , то имеем неопределенность вида . В этом случае предел можно вычислить разложением многочленов и на множители, используя формулы сокращенного умножения и формулу разложения квадратного трехчлена на множители:

, где х ₁ и х ₂ – корни уравнения .

Если разложение выполнено верно, то в числителе и знаменателе дроби должны получиться одинаковые множители, которые следует сократить. После сокращения предел вычисляется простой подстановкой.

Пример 9.4. Вычислите .

Решение. Проверим, какие значения будут принимать числитель и знаменатель при подстановке вместо х значения 3: , . Получили неопределенность вида .

Разложим числитель на множители по формуле разложения квадратного трехчлена. Составим уравнение и найдем его корни:

D = ;

; 3 или ; .

Тогда числитель можно представить в виде произведения двух множителей: =

Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: = .

Вернемся к исходному пределу:

= = .

Ответ: =

4.3. Если под знаком предела стоит дробь вида , включающая иррациональную функцию (функцию, содержащую корень), то домножаем числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное иррациональному.

Пример 9.5. Вычислите .

Решение. Поскольку при подстановке в числитель и знаменатель вместо х значение 0, получаем неопределенность , домножим числитель и знаменатель дроби на выражение , сопряженное знаменателю. Получим:

= .

В знаменателе дроби воспользуемся формулой разности квадратов:

.

Вынесем в знаменателе х за скобки и сократим дробь на х: .

Видим, что при подстановке х =0 числитель и знаменатель не обращаются в 0, следовательно, теперь предел вычисляется простой подстановкой:

= = =-8.

Ответ: =-8.

Дата добавления: 2014-12-27