Предел функции на бесконечности

Рассмотрим определение предела функции при →∞.

Число b называется пределом функции при →∞, если для любого наперед заданного существует такое , что для всех имеет место неравенство: .

Если b есть предел функции при →∞, то пишут: .

Поясним смысл определения: какую бы точность ε мы ни задали, найдется число М, такое, что при выборе , значения функции будут отличаться от b на число, меньшее ε ( т.е. значения функции практически не будут отличаться от b).

В качестве примера рассмотрим всем хорошо известную функцию (рис. 9.7) и покажем, что ее предел при →∞ равен 0.

Пусть ε= 0,01. Тогда можно подобрать число М =100, и для всех модуль разности будет меньше точности ε. Таким образом, . Это согласуется и с нашим наглядным представлением: если выбирать достаточно большие значения х, значения переменной у практически не будут отличаться от 0.

При нахождении пределов функций будем пользоваться двумя основными пределами: и , где с – константа.

Для вычисления предела дроби при →∞ будем использовать следующее правило: разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х в наивысшей степени. Возможны три случая:

5.1. наивысшая степень числителя совпадает с наивысшей степенью знаменателя:

Пример 9.6. Вычислите .

Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х². Получим:

= = ;

Каждое слагаемое стремится к 0 при →∞, тогда

= =2.

Итак, если наивысшая степень числителя совпадает с наивысшей степенью знаменателя, то в пределе получается число, отличное от нуля.

5.2. наивысшая степень числителя больше наивысшей степени знаменателя:

Пример 9.7. Вычислите .

Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х². Получим:

= = =∞.

Таким образом, если наивысшая степень числителя больше наивысшей степени знаменателя, то в пределе получается бесконечность.

5.3. наивысшая степень числителя меньше наивысшей степени знаменателя:

Пример 9.8. Вычислите .

Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х³. Получим:

= = = .

Таким образом, если наивысшая степень числителя меньше наивысшей степени знаменателя, то в пределе получается ноль.

Дата добавления: 2014-12-27