Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Лекция 11. Производная функции, нахождение производных различных функций




План:

7. Понятие производной функции

8. Нахождение производных основных элементарных функций

9. Правила дифференцирования функций

10. Производная сложной функции.

 

  1. Понятие производной функции

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости различных процессов.

Пусть функция определена на некотором интервале . Проделаем следующие операции (рис. 11.1):

- аргументу дадим приращение ;

- найдем соответствующее приращение функции: ;

Рис. 11.1
- составим отношение приращения функции к приращению аргумента ;

- найдем предел этого отношения при .

Если этот предел существует, то его называют производной функции и обозначают одним из символов: .

или .
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

 

Производная функция есть некоторая функция , производная из данной функции.

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой на этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции в точке обозначается одним из символов: или .

 

  1. Нахождение производных основных элементарных функций

Для нахождения производных основных элементарных функции по определению будем использовать схему, рассмотренную выше. Приведем пример нахождения производной функции .

Пример 11.1. Найдите производную функции в произвольной, но фиксированной точке х.

Решение. 1. Дадим аргументу х приращение

2. Найдем соответствующее приращение функции :

; .

Тогда = = .

3. Составим отношение приращения функции к приращению аргумента : = = = .

4. Найдем предел этого отношения при :

= .

Поскольку , то .

Ответ:

Аналогично выводятся формулы нахождения всех производных основных элементарных функций. Приведем их:

  1. c' = 0
  2. x' = 1
  3. (xn)' = п·xn-1
  1. (sin x)' = cos x
  2. (cos x)' = -sin x
  3. (tg x)' =
  4. (ctg x)' = -
 
  1. (ex)' = ex
  2. (ax)' = ax lna
  3. (ln x)' =
  4. (logax)' =
  5. (arcsin x)' =
  6. (arccos x)' =
  7. (arctgx)' =
  8. (arcctgx)' =

 

  1. Правила дифференцирования функций

Нахождение производной функции непосредственно по определению занимает много времени и часто связано с большими трудностями. Поэтому на практике применяют следующие правила дифференцирования:

Пусть u и v – дифференцируемые функции, с – константа. Тогда справедливы правила нахождения производной суммы, произведения и частного двух функций:

1. (cu)' = c u'

  1. (u ± v)' = u' ±v'
  2. (u∙v)' = u'v + v'u

Рассмотрим примеры нахождения производных функций с использованием правил дифференцирования:

Пример 11.2. Найдите производную функции .

Решение. Функция представляет собой сумму и разность выражений. Тогда для нахождения её производной воспользуемся правилом (u ± v)' = u' ±v':

.

Константу можно вынести за знак производной по правилу: (cu)' = c u'. Тогда

.

Далее воспользуемся формулами нахождения производных:

= .

Ответ:

Пример 11.3. Найдите производную функции в точке хо.

Решение. Найдем производную функции как производную произведения. Воспользуемся правилом (u·v)' = u'v + v'u:

= = .

Для нахождения производной функции в точке в производную подставим х=е:

Тогда = =1+1=2.

Ответ: =2.

Пример 11.4. Найдите производную функции .

Решение. Функция представляет собой дробь. Тогда для нахождения её производной воспользуемся правилом :

= = =

= . Ответ: .

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 2068; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.