Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Лекция 15. Выпуклость графика функции. Точки перегиба




План:

  1. Понятие выпуклой и вогнутой функции
  2. Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.

 

  1. Понятие выпуклой и вогнутой функции

При исследовании функции бывает полезно установить, на каких промежутках функция выпуклая, а на каких – вогнутая.

Для определения выпуклой и вогнутой функции проведем касательные к графикам функции в произвольных точках х 1 и х 2 (рис. 15.1 и 15.2):

 

 

График функции называется вогнутым на интервале , если он расположен выше любой касательной к графику функции на данном интервале.

График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже любой касательной к графику функции на данном интервале.

Точка графика непрерывной функции, в которой меняется характер выпуклости, называется точкой перегиба. В точке перегиба касательная будет пересекать кривую.

Функция может иметь несколько интервалов выпуклости и вогнутости, несколько точек перегиба. При определении промежутков выпуклости и вогнутости в качестве ответа выбирают интервал значений: точки перегиба не относят ни к промежуткам выпуклости, ни к промежуткам вогнутости.

Так, график функции на рис.15.3 является выпуклым на промежутках (- ; х 1) и (х 2; + ); вогнутым на (х 1; х 2). График функции имеет две точки перегиба: (х 1; у 1) и (х 2; у 2).

 

  1. Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.

Интервалы выпуклости и вогнутости функции находят с помощью следующей теоремы:

Теорема. 1. Если функция имеет положительную вторую производную, то график функции на интервале вогнутый.

2. Если функция имеет отрицательную вторую производную, то график функции на интервале выпуклый.

Представим критерий выпуклости-вогнутости функции в виде схемы:

f(x) вогнутая
f(x) выпуклая

Таким образом, исследовать функцию на выпуклость-вогнутость означает найти те интервалы области определения, в которых вторая производная сохраняет свой знак.

Заметим, что может менять свой знак лишь в тех точках, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Такие точки принято называть критическими точками второго рода.

Только критические точки могут быть точками перегиба. Для их нахождения используется следующая теорема:

Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная при переходе через точку хо меняет знак, то точка графика с абсциссой хо является точкой перегиба.

При исследовании функции на выпуклость-вогнутость и точки перегиба можно использовать следующий алгоритм:

  1. Найти область определения функции.
  2. Найти первую производную функции .
  3. Найти вторую производную функции .
  4. Определить критические точки второго рода ( (xo) =0 или (xo) не существует).
  5. На числовой оси отметить критические точки второго рода и определить знаки второй производной на каждом из получившихся интервалов.
  6. Найти интервалы выпуклости-вогнутости графика функции, используя соответствующие критерии; выписать абсциссы точек перегиба (если они есть) и значение функции в этих точках.

 

Пример 15.1. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .

Решение. 1. Данная функция определена на множестве R.

2. Найдем первую производную функции: = .

3. Найдем вторую производную функции: =2 х -6.

4. Определим критические точки второго рода ( 0): 2 х -6= 0 х =3.

5. На числовой оси отметим критическую точку х =3. Она разбивает область определения функции на два интервала (-∞;3) и (3;+∞). Расставим знаки второй производной функции 2 х -6 на каждом из полученных интервалов:

при х =0 (-∞;3) (0)=-6<0;

при х =4 (3;+∞) (4)= 2∙4-6=2>0.

т. перегиба

6. Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции выпуклый при х (-∞;3), вогнутый при х (3;+ ∞).

Значение х =3 – абсцисса точки перегиба. Вычислим значение функции при х =3:

= =2. Итак, точка с координатами (3;2) – точка перегиба.

Ответ: график функции выпуклый при х (-∞;3),

вогнутый при х (3;+ ∞); (3;2) – точка перегиба.

Пример 15.2. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .

Решение. 1. Данная функция определена в том случае, когда знаменатель отличен от нуля: х -7≠0 .

2. Найдем первую производную функции:

= = =

= .

3. Найдем вторую производную функции: = =

= =

= .

Вынесем в числителе 2∙(х -7) за скобки:

= =2∙ =

= = = .

4. Определим критические точки второго рода: не может быть равна нулю, поскольку числитель дроби 108≠0.

не существует, если (х -7)3=0 - критическая точка второго рода.

5. На числовой оси отметим критическую точку х =7 выколотой точкой, поскольку в этой точке функция не определена. Эта точка разбивает область определения функции на два интервала (-∞;7) и (7;+∞). Расставим знаки второй производной функции = на каждом из полученных интервалов:

при х =6 (-∞;7) (6)= <0;

при х =8 (7;+∞) (8)= >0.

вогн.

6. Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции является выпуклым при х (-∞;7), вогнутым при х (7;+ ∞).

Точка с абсциссой х =7 не может быть точкой перегиба, т.к. в этой точке функция не существует (терпит разрыв).

Ответ: график функции выпуклый при х (-∞;7), вогнутый при х (7;+ ∞).

 

Контрольные вопросы:

  1. Когда график функции называется выпуклым на интервале ? Вогнутым на интервале ?
  2. Какую точку называют точкой перегиба графика функции?
  3. Может ли точка разрыва являться точкой перегиба графика функции?
  4. В чем заключается критерий выпуклости-вогнутости графика функции?
  5. Какие точки называются критическими точками второго рода?
  6. В чем заключается достаточное условие существования точек перегиба?

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 4662; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.