Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона

Для проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины X сравним между собой экспериментальные и теоретические частоты по критерию Пирсона:

Критерий Пирсона определяет меру расхождения между выборочными данными и теоретическими, определяемыми в соответствии с высказанной гипотезой о распределении случайной величины Х. Если экспериментальные вероятности совпадут с теоретическими , то значение равно нулю.

Чем ближе значение к нулю, тем с большей вероятностью можно будетпринять гипотезу о предполагаемом распределении.

Статистика имеет распределение с степенями свободы,где число k- число интервалов вариационного ряда, r - число параметров теоретического распределения. Число параметров нормальногораспределения равно двум , следовательно, число степеней свободы равно .

В теории математической статистики доказывается, что проверку гипотезы о модели закона распределения по критерию Пирсона можно делать только в том случае, если выполняются следующие условия:

где .

Из результатов вычислений, приведенных в табл. 8, следует, что необходимое условие для применения критерия согласия Пирсона не выполнено, так как в некоторых группах . Поэтому те группы

вариационного ряда, для которых необходимое условие не выполняется, объединяют с соседними и уменьшают число групп; при этом частоты объединенных групп суммируются. Так объединяют все группы с частотами до тех пор, пока для каждой новой группы не будет выполняться условие:

.

При уменьшении числа групп для теоретических частот соответственно уменьшают и число групп для эмпирических частот. После объединения групп в формуле для числа степеней свободы , где в качестве kпринимают новое число групп, полученное после объединения частот.

Результаты объединения интервалов и теоретических частот приведены в табл. 9

Таблица 9

Результаты объединения интервалов и теоретических частот

[хi-1; хi)	pi^T	ni^T	ni	(ni-ni^T)^2
[0;2,1)	0,1541	9,246		5,044516	0,545589011
[2,1;2,8)	0,2475	14,85		17,2225	1,15976431
[2,8;3,5)	0,2994	17,964		8,785296	0,4890501
[3,5;4,2)	0,2032	12,192		0,036864	0,003023622
[4,2;5,6)	0,5469	5,736		1,597696	0,278538354
Σ	1,4511	59,988		31,089176	2,475965398

Результаты вычислений из табл. 9 можно использовать для проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона.

Процедура проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины X выполняется в следующей последовательности:

1. Зададимся уровнем значимости или одним из следующих значений: ; ; .

2. Вычислим наблюдаемое значение критерия:

.

используя экспериментальные и теоретические частоты из табл. 1.6.1.

3. Для выбранного уровня значимости по таблицераспределения находим критические значения при числе степеней свободы , где k - число групп экспериментального распределения.

4.Сравним фактически наблюдаемое значение с критическимзначением , найденным по табл. 1.3.2, и примем одно из следующих решений:

а) если , то выдвинутая гипотеза о теоретическом законераспределения не противоречит выборке наблюдений при заданном уровне значимости, т.е. нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении, так как эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно;

б) если , то выдвинутая гипотеза о теоретическом законераспределения отвергается при заданном уровне значимости.

При выбранном уровне значимости и числе групп k= 6 число степеней свободы v = 3, по табл. 1.3.2 для и k= 3 находим

.

В результате получим:

для , которое найдём по результатам вычислений, приведенных в табл. 9, имеем:

Следовательно, выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения не противоречит выборке наблюдения при заданном уровне значимости и нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении случайной величины.

Дата добавления: 2014-12-23