Смешанное произведение векторов и его свойства

Определение. Смешанным произведением векторов , и называется скалярное произведение векторного векторов и на вектор .

Смешанное произведение обозначают и по определению

= .

Результатом смешанного произведения является скалярная величина.

Теорема. Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах; взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если эти векторы образуют левую тройку.

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

1) смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей, т.е.

2) Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т.е.

.

3) Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т.е.

4) Смешанное произведение ненулевых векторов , и равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Теорема. Смешанное произведение равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов, т.е.

.

Таким образом, объем параллелепипеда, построенного на векторах , и вычисляется как

,

а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен

Пример1. Вершинами пирамиды служат точки и . Найти объем пирамиды.

Дата добавления: 2014-12-29