Пример 2. Решение типовых задач

Решение типовых задач

Пример 1. Получены результаты тестового экзамена по математике в баллах: 5, 3,7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4.

Представить данные в виде вариационного и статистического ряда, построить полигон.

Решение. Объем выборки n = 15.

Упорядочим выборку и получим вариационный ряд:

2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 10.

Построим статистический ряд:

xi
ni
w i	3/15	1/15	2/15	3/15	4/15	2/15

Полигон относительных частот показан на рис. 10.

Рис. 10. Полигон относительных частот

В течение месяца ежедневно тщательно изучался расход горючего на автопредприятии. В результате получены данные: 102,256; 78,235; 95,624, 69,124; 112,352; 108,781; 119,546; 86,325; 89,126; 97,563; 101,325; 62,358; 110,256; 99,325; 103,651; 107,896; 111,238; 68,265; 72,348; 76,158; 97,589; 105,465; 88,658; 96,102; 112,325; 124,852; 106,324; 119,521; 114,368; 120,563.

Построить равномерный интервальный ряд из семи интервалов, гистограмму и эмпирическую функцию плотности распределения.

Решение. Найдем наибольшее и наименьшее значения в выборке: х _max = 124,852, x _min = 62,358.

Размах выборки равен 124,852 – 62,358 = 62,494.

Вычислим длину каждого элементарного интервала:

= 62,494/6 ≈ 10,416, здесь k = 7 – количество задаваемых интервалов;

= х ₁ = 62,358 – 10,416 / 2 = 62,358 – 5,208 = 57,15;

= 24,852 + 10,416/2 = 124,852 + 5,208 = 130,06;

остальные границы рассчитываются по формуле x_i = x_{i –1} + ∆x:

х ₂ = 57,15 + 10,416 = 67,566;

х ₃ = 67,566 + 10,416 = 77,982;

х ₄ = 88,398; х ₅ = 98,814; х ₆ = 109,23; х ₇ = 119,646; х ₈ = 130,062.

Подсчитываем количество вариант, попадающих в каждый
из интервалов (интервальные частоты): в первый интервал (между значениями х ₁ = 57,15 и х ₂ = 67,566) попадает всего 1 варианта,
во второй – 4, в третий – 2, в четвертый – 6, в пятый – 8, в шестой – 7, в седьмой – 2 (проверьте).

Строим интервальный статистический ряд:

N инт	(xi; xi +1)	ni
	57,15; 67,566
	67,566;77,982
	77,982; 88,398
	88,398; 98,814
	98,814; 109,23
	109,23; 119,646
	119,646; 130,062

Объем выборки – 30. Сумма интервальных частот тоже равна 30. Следовательно, частоты подсчитаны верно. Гистограмма и эмпирическая функция плотности распределения представлены на рис. 11.

х ₁ х ₂ х ₃ х ₄ х ₅ х ₆ х ₇ х ₈ х

Рис. 11. Гистограмма и эмпирическая функция плотности распределения

Пример 3. Найти эмпирическую функцию распределения
по данному распределению выборки и построить ее график.

xi
ni

Решение. Найдем объем выборки: n = 1 + 3 + 2 + 4 = 10.

Наименьшая варианта x = 2, следовательно, F ^*(x) = 0 при x < 2. Значение события X < 5 наблюдалось 1 раз, то есть F ^*(x) = . Значение события X < 7 наблюдалось 4 раза, поэтому F ^*(x) = . Значение события X < 8 наблюдалось 6 раз, тогда F ^*(x) = .

Так как x = 8 – наибольшая варианта, то F ^*(x) = .

Таким образом, получили аналитическое выражение искомой эмпирической функции распределения:

А ее график имеет вид, изображенный на рис. 12.

Рис. 12. График функции распределения

Дата добавления: 2014-12-29