КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Методика расчета теоретических частот
Пусть Н 0 – «ГС имеет нормальное распределение». Центри-руем и нормируем с.в. Х, вводя в рассмотрение теоретическую с.в. , значения которой вычисляются по формулам , при этом полагают . Тогда вероятность попадания с.в. Z в i -ый интервал согласно предположению о нормальном распределении ГС равна , где Ф(z) – интегральная функция Лапласа (см. табл. П. 1). Теоретические частоты вычисляются по формуле , где n – объем выборки. Для контроля правильности вычислений используют условие . О. 2. Величина K = L – 1 – r называется числом степеней свободы. Здесь L – количество интервалов разбиения; r – количество параметров предполагаемого распределения. Например, если проверяется гипотеза о том, что с.в. распределена по показательному закону (с одним параметром λ), то r = 1, если же проверяется гипотеза о нормальном распределении с.в. По числу степеней свободы K (поскольку нормальное распределение двухпараметрическое, то число степеней свободы равно K = L – 3) и по заданному уровню значимости α для правосторонней критической области определяют (см. табл. П. 4). Вычисляем (расчетную таблицу см. в образце выполнения типового расчета). Тогда при выполнении условия гипотеза Н 0 принимается (говорят, что данные выборки не противоречат выдвинутой гипотезе), а при выполнении условия гипотеза Н 0 отвергается (говорят, что данные выборки не подтверждают выдвинутой гипотезы). Алгоритм проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона представлен на рис. 19.
5.5. Решение типовых задач (типового расчета)
Дана выборка объема n = 150. Для заданного массива чисел провести следующую статистическую обработку:
1. Построить интервальный статистический ряд из 11 интервалов. 2. Построить гистограмму и эмпирическую функцию плотности распределения. 3. Используя метод условных вариант, найти точечные статистические оценки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленную выборочную дисперсию, исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс.
Рис. 19. Алгоритм проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона 4. Найти и построить эмпирическую функцию распределения. 5. При уровне надежности 0,99 найти доверительные интервалы для математического ожидания генеральной совокупности при неизвестном среднем квадратическом отклонении и для среднего квадратического отклонения нормальной генеральной совокуп-ности. 6. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона с уровнем значимости 0,05.
Дана выборка значений с.в. Y:
I. Построение интервального статистического ряда 1. Упорядочим данный числовой массив, т. е. построим вариационный ряд. 2. Число задаваемых интервалов K = 11. 3. Находим наименьшую и наибольшую варианты в выборке Y min = 230,743, Y max = 312,899. 4. Находим длину интервала статистического ряда . 5. Вычисляем крайние границы статистического ряда ; . Следующие границы подсчитываем по итерационной формуле yi +1 = yi + D Y, считая у лев = у 0. Столбцы 1, 2, 3 табл. 1 и представляют интервальный статистический ряд для данной с.в. Y. А столбцы 1, 3, 4 могут рассматриваться как дискретный статистический ряд. В силу плотности значений с.в. Y здесь середина интервала может считаться общим для всех вариант данного интервала.
Таблица 1
Окончание табл. 1
II. Построение гистограммы частот и эмпирической функции плотности распределения Для интервального статистического ряда построим его геометрический аналог – гистограмму частот, по которой строится эмпирическая функция плотности распределения. Гистограмма частот и эмпирическая функция плотности распределения представлены на рис. 20.
Рис. 20. Гистограмма частот и эмпирическая функция
III. Расчет точечных статистических оценок Для удобства расчетов перейдем к условным вариантам , где с – «ложный нуль» – выбирается из середины статистического ряда и в нашем случае c = 271,821. 1. Вычислим выборочную среднюю по формуле . Получим . 2. Вычислим выборочную дисперсию , где – условные статистические моменты k -го порядка. Вычислим статистические моменты 1, 2, 3 и 4-го порядков: , , , . Тогда выборочная дисперсия равна . Вычислим исправленную выборочную дисперсию . 3. Вычислим выборочное среднее квадратическое отклонение по формуле . Тогда . Исправленное СКО вычислим по формуле . Получим . 4. Найдем числовые характеристики деформации. Асимметрию найдем по формуле , где ; m 3 – центральный эмпирический момент 3-го порядка, m 3 = = . Статистические моменты были вычислены ранее. Тогда центральный эмпирический момент 3-го порядка равен . Вычислим асимметрию . Эксцесс найдем по формуле , где ; m 4 – центральный эмпирический момент 4-го порядка, m 4 = = . Статистические моменты были вычислены ранее. Тогда центральный эмпирический момент 4-го порядка равен . Вычислим эксцесс . IV. Эмпирическая функция распределения По определению График эмпирической функции распределения представлен на рис. 21.
149/150 141/150 131/150 122/150 102/150 72/150 41/150 11/150 4/150 1/150
Рис. 21. График эмпирической функции распределения
V. Расчет доверительных интервалов 1. Доверительный интервал для математического ожидания. Выбираем формулу для случая, когда σ неизвестно: . А. Задаем надежность γ = 0,95. Находим по табл. П. 2 t γ = t (0,95,150) = 1,96. Тогда ; ; . Здесь длина интервала | а – b | = 2,599. Б. Пусть теперь надежность γ = 0,99. Соответственно, tγ = t (0,99,150) = 2,576. Тогда доверительный интервал примет вид ; ; . Видим, что с увеличением надежности интервал расширяется. Здесь длина интервала | a – b | = 3,416. 2. Доверительные интервалы для среднего квадратического отклонения.
Доверительные интервалы для СКО вычисляются по формуле . А. Выбираем надежность γ = 0,95, тогда значение q = q (0,95,150) = 0,115 (табл. П. 3) . Б. При надежности γ = 0,99 получаем значение q = q (0,99,150) = 0,16 и . Вычислив длины интервалов, опять убеждаемся в том, что чем выше надежность, тем шире интервал. VI. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона Судя по гистограмме и значениям асимметрии и эксцесса (близким к нулю), можно выдвинуть гипотезу Н 0 – «ГС распределена нормально». Проверим эту гипотезу по критерию Пирсона. Пересчитаем границы интервалов . В силу того что нормальное распределение охватывает всю числовую ось, полагают , . Все промежуточные значения вычисляются по указанной формуле: ; ; ; ; ; ; ; ; ; . Вероятность попадания величины в i -ый интервал рассчитывается по формуле , где – интегральная функция Лапласа (см. табл. П. 1). Теоретические частоты рассчитываются по формуле . Составим расчетную таблицу (табл. 2) для наблюдаемого значения критерия Пирсона. Таким образом, наблюдаемое значение критерия . Таблица 2
По уровню значимости и числу степеней свободы (S – количество интервалов) находим критическое значение критерия (табл. П. 4) . Поскольку , следовательно, гипотеза о нормальном распределении ГС по критерию Пирсона отвергается.
Дата добавления: 2014-12-29; Просмотров: 1277; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |