Вероятностное пространство

Пусть – пространство элементарных исходов. Вероятностью на пространстве W называется заданная на этом пространстве числовая функция Р, обладающая двумя свойствами:

1) Р(w_i) ³ 0 для всех i;

2) Р(w₁) + Р(w₂) + Р(w₃) + … = 1

Величину Р(w_i) называют вероятностью исхода w_i и обозначают р_i. Эта величина характеризует частоту появления данного исхода в результате проведения серии экспериментов.

Вероятность на пространстве W удобно бывает задавать с помощью таблицы:

w1	w2	w3	…
р1	р2	р3	…

Такая таблица иногда называется распределением вероятности на пространстве W.

Задача 7. Пространство W состоит из 4 исходов, вероятности которых пропорциональны числам 1, 2, 3 и 4. Определить эти вероятности.

Пространство элементарных исходов W с заданной на нем вероятностью Р называется вероятностным пространством.

Вероятностью события А называется сумма вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих этому событию: . При этом вероятность невозможного события полагается равной нулю.

Задача 8. Пусть . Известно, что Р(А) = 0,8; Р(В) = 0,6. Найти вероятности всех элементарных исходов.

Свойства вероятности.

1.Р(W) = 1

2.0£Р(А)£1 для любого события А

3.Если АÌВ, то Р(А)£Р(В)

4.Если события А и В несовместны, то Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

5. Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А×В) для любых событий А и В

6. .

Центральное место среди этих свойств занимает, несомненно, свойство 4. Присмотритесь к нему внимательно и испытайте радость узнавания – это знакомое нам по комбинаторике свойство аддитивности (или правило сложения), только вместо количества элементов во множествах А и В здесь мы имеем дело с вероятностями соответствующих событий.

Задача 9. Докажите свойства 1 – 6.

Важный пример.

Пусть у нас имеется вероятностное пространство (W, Р), где , а вероятность Р задана набором чисел {р₁, р₂, р₃, … }. Известно, что в результате некоторого эксперимента произошло событие А = , однако не известно, какой именно элементарный исход имел место. Что можно сказать о вероятности исхода w_i с учетом этой информации? Обозначим эту вероятность через p_i(A). Понятно, что при i>k следует считать p_i(A) = 0. При i£k числа p_i(A) должны быть пропорциональны числам p_i, то есть можно положить p_i(A) = kp_i. При этом должно выполняться условие p₁(A)+p₂(A)+p₃(A)+…+p_k(A) = 1, то есть k×(p₁+p₂+p₃+…+p_k) = 1. Но сумма, стоящая в скобках, – это вероятность события А. Таким образом k×p(A) = 1 и . Итак, мы построили новое вероятностное пространство, для которого пространством элементарных исходов является множество А, а вероятности элементарных исходов задаются формулами .

Задача 10. Как найти вероятность события В, если известно, что произошло событие А?

Решение. Вероятность события В (при условии, что произошло событие А) – это сумма тех p_i(A), для которых . Так как p_i(A) отличны от нуля лишь тогда, когда , то окончательно имеем, что искомая вероятность равна .

Найденная нами в задаче 9 величина носит название условной вероятности и обозначается p(BïA) (читается «вероятность B при условии A»). Таким образом имеем:

(1)

Обычно эта формула служит определением условной вероятности. Формулу (1) обычно используют для определения вероятности произведения двух (или нескольких) событий:

р(АВ) = р(А)×р(ВïА) (2)

Задача 11. Доказать, что если р(ВïА) = р(В), то р(АïВ) = р(А).

Результат этой задачи позволяет дать следующее определение:

События А и В называются независимыми, если р(АВ) = р(А)р(В).

Независимость двух событий означает, что вероятность каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет, то есть р(ВïА) = р(В) и р(АïВ) = р(А).

Дата добавления: 2014-12-29