Кратные интегралы

Предостережение.При вычислении несобственных интегралов с особыми точками внутрипромежутка интегрирования нельзямеханически применять формулу Ньютона – Лейбница, поскольку это может привести к ошибкам.

Общее правило: формула Ньютона – Лейбница верна, если первообразная от f(x) в особой точке последней непрерывна.

Пример 2.11.

Рассмотрим несобственный интеграл с особой точкой х = 0. Формула Ньютона–Лейбница, применяемая формально, дает

.

Однако общее правило здесь не выполняется; для f(x) = 1/x первообразная ln |x| не определена в х = 0 и является бесконечно большой в этой точке, т.е. не является непрерывной в этой точке. Непосредственной проверкой легко убедиться, что интеграл расходится. Действительно,

.

Полученная неопределенность может быть раскрыта по-разному, поскольку e и d стремятся к нулю независимым образом. В частности, полагая e = d, получаем главное значение несобственного интеграла, равное 0. Если e = 1/n, а d =1/n², т.е. d стремится к 0 быстрее, чем e, то получаем

;

при и , наоборот,

,

т.е. интеграл расходится.n

Пример 2.12.

Рассмотрим несобственный интеграл с особой точкой х = 0. Первообразная от функции имеет вид и непрерывна в точке х = 0. Поэтому можно применить формулу Ньютона – Лейбница:

n

Естественным обобщением понятия определенного интеграла Римана на случай функции нескольких переменных является понятие кратного интеграла. Для случая двух переменных такие интегралы называют двойными.

Рассмотрим в двумерном евклидовом пространстве R ´ R, т.е. на плоскости с декартовой системой координат, множество Е конечной площади S.

Обозначим через (i = 1, …, k) разбиение множества Е, т.е. такую систему его подмножеств E _i, i = 1,..., k, что Ø при i ¹ j и (рис. 2.5). Здесь через обозначено подмножество E _i без его границы, т.е. внутренние точки подмножества E_i, которые вместе с его границей Гр E _i образуют замкнутое подмножество E _i, . Ясно, что площадь S (E _i) подмножества E _i совпадает с площадью его внутренней части , поскольку площадь границы ГрE _i равна нулю.

Через d(E_i) обозначим диаметр множества E_i, т.е. максимальное расстояние между двумя его точками. Величину l(t) = d(E_i) назовем мелкостью разбиения t. Если функция f(x),x = (x, y), определена на E как функция двух аргументов, то всякую сумму вида

, x_i Î E_i, i = 1,..., k, x_i = (x_i, y_i),

зависящую как от функции f и разбиения t, так и от выбора точек x_i Î E_i Ì t, называют интегральной суммой функции f.

Если для функции f существует ,не зависящий ни от разбиений t, ни от выбора точек (i = 1, …, k), то этот предел называется двойным интегралом Римана от f(x,y) и обозначается

.

Саму функцию f называют в этом случае интегрируемой по Риману.

Напомним, что в случае функции одного аргумента в качестве множества Е, по которому производится интегрирование, обычно берется отрезок [a, b], а в качестве его разбиения t рассматривается разбиение, состоящее из отрезков. В остальном, как нетрудно убедиться, определение двойного интеграла Римана повторяет определение определенного интеграла Римана для функции одного аргумента.

Двойной интеграл Римана от ограниченных функций двух переменных обладает обычными свойствами определенного интеграла для функций одного аргумента – линейностью, аддитивностью относительно множеств, по которым производится интегрирование, сохранение при интегрировании нестрогих неравенств, интегрируемость произведения интегрируемых функций и т.п.

Вычисление кратных интегралов Римана сводится к вычислению повторных интегралов. Рассмотрим случай двойного интеграла Римана. Пусть функция f(x,y) определена на множестве Е, лежащем в декартовом произведении множеств X ´ Y, E Ì X ´ Y.

Повторным интегралом от функции f(x, y) называется интеграл, в котором последовательно выполняется интегрирование по разным переменным, т.е. интеграл вида

.

Множество E(y) = {x: <x, y> Î E} Ì X называется сечением множества E, соответствующим заданному y, y Î E_y; множество E_y называется – проекцией множества E на ось Y.

Для повторного интеграла используют также такое обозначение:

,

которое, как и прежнее, означает, что сначала при фиксированном y, y Î E_y, проводится интегрирование функции f(x, y) по x по отрезку E (y), являющемуся сечением множества Е, соответствующим этому y. В результате внутренний интеграл определяет некоторую функцию одной переменной – y. Эта функция интегрируется затем как функция одной переменной, на что указывает символ внешнего интеграла.

При изменении порядка интегрирования получается повторный интеграл вида

где внутреннее интегрирование проводится по y, а внешнее – по x. Как соотносится этот повторный интеграл с повторным интегралом, определенным выше?

Если существует двойной интеграл от функции f, т.е.

,

то существуют и оба повторных интеграла, причем они одинаковы по величине и равны двойному, т.е.

n.

Подчеркнем, что сформулированное в этом утверждении условие возможности перемены порядка интегрирования в повторных интегралах является лишь достаточным, но не необходимым.

Другие достаточные условия возможности перемены порядка интегрирования в повторных интегралах формулируются следующим образом:

если существует хотя бы один из интегралов

или ,

то функция f(x, y) интегрируема по Риману на множестве Е, оба повторных интеграла от нее существуют и равны двойному интегралу. n

Конкретизируем записи проекций и сечений в обозначениях повторных интегралов.

Если множество Е является прямоугольником

,

то E_x = {x: a £ x £ b}, E_y = {y: c £ y £ d}; при этом E(y) = E_x для любого y, y Î E_y., а E(x) = E_y для любого x, x Î E_x..

Формальная запись: " y y Î E_y Þ E(y) = E_x Ù" x x Î E_x Þ E(x) = E_y

В этом случае повторные интегралы записываются так:

.

Если множество Е имеет криволинейную границу и допускает представления

или

,

то , ,

а , .

В этом случае повторные интегралы записываются так:

.

Пример 2.13.

Вычислить двойной интеграл по прямоугольной области, сведя его к повторному .

Поскольку выполняется условие sin²(x+ y) =| sin² (x + y)|, то проверку выполнимости достаточных условий существования двойного интеграла I в форме существования любого из повторных интегралов

или

здесь проводить специально не следует и можно сразу переходить к вычислению повторного интеграла

.

Если он существует, то существует и двойной интеграл, причем I = I₁. Поскольку

, то

.

Итак, I = .n

Пример 2.14.

Вычислить двойной интеграл по треугольной области (см. рис. 2.6), сведя его к повторному

, Гр(E) = {<x, y>: x = 0, y = 0, x + y = 2}.

Сначала убедимся в существовании двойного интеграла I. Для этого достаточно убедиться в существовании повторного интеграла

.

Имеем

,

т.е. подынтегральные функции непрерывны на отрезках интегрирования, поскольку все они степенные. Следовательно, интеграл I₁ существует. В этом случае двойной интеграл тоже существует и равен любому повторному, т.е.

.n

Пример 2.15.

Для лучшего понимания связи между понятиями двойного и повторных интегралов рассмотрим следующий пример, который при первом чтении может быть опущен. Задана функция двух переменных f(x, y)

Отметим, что эта функция при фиксированном х нечетна по y, а при фиксированном y – нечетна по x. В качестве множества Е, по которому интегрируется эта функция, возьмем квадрат E = {<x, y>: -1 £ x £ 1, -1 £ y £ 1 }.

Вначале рассмотрим повторный интеграл

.

Внутренний интеграл

берется при фиксированном y, -1 £ y £ 1. Поскольку подынтегральная функция при фиксированном y нечетная по x, а интегрирование по этой переменной осуществляется по отрезку [-1, 1], симметричному относительно точки 0, то внутренний интеграл равен 0. Очевидно, что внешний интеграл по переменной y от нулевой функции также равен 0, т.е.

.

Аналогичные рассуждения для второго повторного интеграла приводят к тому же результату:

.

Итак, для рассматриваемой функции f(x, y) повторные интегралы существуют и равны друг другу. Однако двойной интеграл от функции f(x, y) не существует. Чтобы убедиться в этом, обратимся к геометрическому смыслу вычисления повторных интегралов.

Для вычисления повторного интеграла

используется разбиение квадрата Е специального вида, равно как и специальным образом проводимый подсчет интегральных сумм. Именно, квадрат Е разбивается на горизонтальные полосы, (см. рис.2.7), а каждая полоса – на маленькие прямоугольники. Каждая полоска соответствует некоторому значению переменной y; например, это может быть ордината горизонтальной оси полосы.

Подсчет интегральных сумм производится так: сначала подсчитывается суммы для каждой полосы в отдельности, т.е. при фиксированном y для разных x, а затем эти промежуточные суммы суммируются для разных полос, т.е. для разных y. Если мелкость разбиения устремить к нулю, то в пределе мы получим указанный выше повторный интеграл.

Ясно, что для второго повторного интеграла

множество Е разбивается вертикальными полосами, соответствующими разным x. Промежуточные суммы подсчитываются внутри каждой полосы по маленьким прямоугольникам, т.е. по y, а затем они суммируются для разных полос, т.е. по х. В пределе, при мелкости разбиения, стремящейся к нулю, получаем соответствующий повторный интеграл.

Чтобы доказать, что двойной интеграл не существует, достаточно привести один пример разбиения, расчет интегральных сумм по которому в пределе при мелкости разбиения, стремящейся к нулю, дает результат, отличный от значения повторных интегралов. Приведем пример такого разбиения, соответствующего полярной системе координат (r, j) (см. рис. 2.8).

В полярной системе координат положение любой точки на плоскости М₀ (x₀, y₀), где x₀,y₀ – декартовы координаты точки М₀ – определяется длиной r₀ радиуса, соединяющего ее с началом координат и углом j₀, образуемым этим радиусом с положительным направлением оси x (угол отсчитывается против часовой стрелки). Связь между декартовыми и полярными координатами очевидна:

,

y₀ = r₀ × sinj₀.

Разбиение строится следующим образом. Сначала квадрат Е разбивается на сектора радиусами, исходящими из центра координат, а затем каждый сектор – на маленькие трапеции линиями, перпендикулярными оси сектора. Подсчет интегральных сумм проводится так: сначала по маленьким трапециям внутри каждого сектора вдоль его оси (по r), а затем – по всем секторам (по j). Положение каждого сектора характеризуется углом его оси j, а длина его оси r(j) зависит от этого угла:

если или , то ;

если , то ;

если , то

если , то .

Переходя к пределу интегральных сумм полярного разбиения при мелкости разбиения, стремящейся к нулю, получим запись двойного интеграла в полярных координатах. Такую запись можно получить и чисто формальным образом, заменяя декартовы координаты (x, y) на полярные (r, j).

По правилам перехода в интегралах от декартовых координат к полярным следует писать, по определению:

.

В полярных координатах функция f(x, y) запишется так:

.

Окончательно имеем

.

Внутренний интеграл (несобственный) в последней формуле

,

где функция r(j) указана выше, 0 £ j £ 2p, равен +¥ для любого j, ибо

,

а .

Следовательно, подынтегральная функция во внешнем интеграле, вычисляемом по j, не определена ни для какого j. Но тогда не определен и сам внешний интеграл, т.е. не определен исходный двойной интеграл.

Отметим, что для функции f(x, y) не выполнено достаточное условие существования двойного интеграла по множеству Е. Покажем, что интеграл

не существует. Действительно,

.

Аналогично устанавливается такой же результат для интеграла

n

Дата добавления: 2014-12-29