Уравнение Эйлера

Выделим в жидкости некоторый объем V (рис.3.1). На этот объем со стороны окружающей жидкости будет действовать сила гидростатического давления, которая равна интегралу, взятому по поверхности рассматриваемого объема

. (4.1)

Преобразуем этот интеграл по поверхности s в интеграл по объему V по формуле Остроградского-Гаусса

, (4.2)

где Ñ p - вектор-градиент функции p, координаты которого . Таким образом, на каждую единицу объема жидкости действует сила - -Ñ p.

Так как жидкость находится в поле тяжести Земли, то на каждую единицу ее объема действует массовая сила r g, где g - ускорение свободного падения.

Напишем уравнение движения единичного элемента жидкости. Для этого, согласно второму закону Ньютона, приравняем силу произведению массы единицы объема жидкости r на ее полное ускорение d u /dt (2.7)

(4.3)

или

. (4.4)

Уравнение (4.4) называется уравнением движения Эйлера (1755 г.).

При этом выводе уравнения движения совершенно не учитывались процессы диссипации энергии, которые могут иметь место в текущей жидкости вследствие вязкости жидкости и теплообмена между различными участками. Кроме силы тяжести, на жидкость могут действовать другие массовые силы, которые мы не рассмотрели, например центробежная сила инерции переносного движения и кориолисова сила инерции. Эти силы могут проявляться, например, в криволинейном канале, вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью w.

Уравнение (4.4) перепишем в проекциях на оси координат в следующем виде (ось 0z направим вверх от центра Земли)

. (4.5)

В задачах динамики жидкости массовые силы обычно считаются известными. Неизвестными являются функции давления, проекции скорости и плотность - всего пять неизвестных функций. Для определения неизвестных переменных используется система уравнений Эйлера, уравнение неразрывности и уравнение состояния среды (например, для несжимаемой жидкости это уравнение r=const).

Контрольные вопросы.

1. Чем отличается модель «невязкая жидкость»?

2. Как замыкается система уравнений Эйлера для движения невязкой жидкости? Какие величины в них известны, а какие нет?

3. Запишите уравнения движения невязкой жидкости для неустановившегося и установившегося движения.

Дата добавления: 2014-12-29