Алгоритм деления

Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число а на натуральное число b - это значит найти такие це­лые неотрицательные числа q r, что а = bq + r, причем 0 £ r < b.

Выясним сначала, как осуществляется деление на однозначное число. Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица умножения однозначных чисел. Например, частным чисел 54 и 9 будет число 6, так как 9 × 6 = 54. Если же надо разделить 51 на 9, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 9 - это число 45, и, следовательно, непол­ным частным при делении 51 на 9 будет число 5. Чтобы найти остаток, надо из 51 вычесть 45: 51 - 45 = 6. Таким образом, 51 = 9×5 + 6, т.е. при делении 51 на 9 получается неполное частное 5 и остаток, равный 6. Записать это можно иначе, при помощи деления уголком:

51 9

- 45 5

Будем теперь делить трехзначное число на однозначное, например, 378 на 4. Разделить 378 на 4 - это значит найти такое неполное частное q и остаток r, что 378=4q+r, причем остаток r должен удовлетвори условию 0£r<b, а неполное частное q - условию 4q£ 378<4(q+1).

Определим, сколько цифр будет содержаться в записи числа q. Однозначным число q быть не может, так как тогда произведение 4q может быть максимально равно 36 и, значит, не будут выполняться условий сформулированные выше для r и q. Если число q двузначное, т.е. есть 10<q<100, то тогда 40<4q<400 и, следовательно, 40<378<400, что верно. Значит, частное чисел 378 и 4 - число двузначное.

Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 4 на 20, 30, 40 и т.д. Поскольку 4×90=360, а 4×100=400, и 360<378<400, то неполное частное заключено между числами90 и100, т.е. q=90+q_0. Но тогда должны выполняться неравенства: 4×(90+q₀)£ 378<4×(90q+q₀+1), откуда 360+4q₀£78<360+4(q₀+1) и 4q₀£18<4(q₀+1). Число q₀ (цифра единиц частного), удовлетво­ряющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что q₀=4 и, следовательно, неполное частное q=90+4=94. Остаток находится вычитание: 378–4×94=2.

Итак, при делении числа 378 на 4 получается неполное частное 94 и остаток 2: 378–4×94+2.

Описанный процесс является основой деления уголком:

378 4

- 36 94

- 16

Аналогично выполняется деление многозначного числа на многозначное. Разделим, например, 4316 на 52. Выполнить это деление - зна­чит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что 4316=52q+r, 0£r < 52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52q£ 4316<52(q+1).

Определим число цифр в частном q. Очевидно, частное заключено между числами 10 и 100 (т.е. q - двузначное число), так как 520<4316<5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последова­тельно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52 × 80=4160, а 52 × 90=4680 и 4160<4316<4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q=80+q₀.

Но тогда должны выполняться неравенства:

52 × (80+q₀)£ 4316< 52 × (80+q₀ +1),

4160+52q₀ £ 4316<4160+52 × (q₀+1),

52q₀ £156<52 × (q₀+1).

Число q₀ (цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором: 156=52 × 3, т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4316 на 52 получа­ется частное 83.

Приведенные рассуждения лежат в основе деления уголком:

4316 52

- 416 83

- 156

Дата добавления: 2014-12-29