Практическая работа. Понятие положительной скалярной величины

К.

Кг

К.

Кг

Кг

М.

?

Рис. 4

Если построить вспомогательную модель задачи (рис. 4), то можно сразу увидеть, что картофеля купили столько же, сколько моркови, и еще 2 кг, т.е. масса картофеля складывается из двух масс (3 кг и 2 кг), и чтобы найти ее численное значение, надо сложить численные значения масс - слагаемых. Получаем выражение 3+2, значение которого и будет ответом на вопрос задачи.

4. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин

Рассматривая смысл суммы и разности натуральных чисел - мер величин, мы установили, что сложение таких чисел связано со сложением величин, а вычитание - с вычитанием величин. И естественно возникает вопрос: с каким действием над величинами связано умножение и деление натуральных чисел? Чтобы ответить на него, проанализируем задачу: «Купили 3 пакета муки по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили?».

В этой задаче речь идет о массе муки, которая сначала измерена пакетами, и известно численное значение этой массы при указанной единице массы. Требуется найти результат измерения той же массы муки, но уже при помощи другой единицы - килограмм при условии, что 1 пакет - это 2 кг муки. Рассуждения, связанные с поиском численного значения массы муки при единице - килограмм, можно представить в таком виде: 3 пак. = 3·пак. = 3 · (2 кг) = 3 · 2 · кг = (3 · 2) кг.

Видим, что ответ на вопрос задачи находится умножением и что оно оказалось связанным с переходом (в процессе измерения массы) от одной единицы массы к другой, более мелкой.

Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е состоит из b отрезков, длина которых равна Е₁, то мера длины отрезка х при единице длины Е₁, равна а× b.

Доказательство. По условию отрезок х состоит из от отрезков равных е, а отрезок е - из b отрезков, равных е₁ (рис. 5, а). Обозначим длину отрезка х буквой X, длину отрезка е - буквой Е, длину отрезка е₁ - буквой Е₁. Так как по условию , а , то Х = а × Е, Е = b × Е₁. Нетрудно видеть, что частей отрезка х, равных е₁, будет а×b, так как . Это означает, что мера длины отрезка х при единице длины Е₁ равна а× b. Можно записать, что Х = а×Е= а×(в×Е₁) = (а× b) × Е₁.

)

Из этой теоремы следует, что умножение натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное число а - мера длины отрезка х при единице длины Е, натуральное число b - мера длины Е при единице длины Е₁, то произведение а× b - это мера длины отрезка х при единице длины Е₁:а× в = т_Е (Х) × т_Е1 (Е) = т_Е1 (Х).

Аналогичный смысл имеет произведение натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин. И поэтому при построении вспомогательных моделей текстовых задач с величинами можно использовать отрезки (что, впрочем, мы делали и раньше). Кроме того, условимся, что в тех случаях, когда это не ведет к путанице, отрезок х и его длину Х не различать. Проиллюстрируем это на конкретном примере.

Задача 1. Объяснить смысл произведения 4 × 3, если 4 и 3 - числа, полученные в результате измерения величин.

Решение. Пусть 4 = m_Е (Х), 3 = m_Е1 (Е), где Х - измеряемая величина, Е - первоначальная единица величины, а Е₁ - новая единица величины. Тогда, согласно доказанной теореме, 4×3 = m_Е1 (X), т.е. 4×3 – это численное значение длины Х при единице длины Е₁. Рассмотрим рисунок 5, б). Пусть Х - длина отрезка. Если Е- первоначальная единица длины, то = 4× Е. Если Е₁ - новая единица длины, такая, что Е = 3Е₁, то Х = 4 ×Е= 4 × (3×Е₁) = (4× 3) Е₁.

Задача 2. Обосновать выбор действия при решении задачи. «В одной коробке 6 ручек. Сколько ручек в трех таких коробках?» решение. В задаче речь идет о количестве ручек, которое сначала измерено коробками и известно численное значение этой величины при указанной единице. Требуется найти численное значение этой же величины при новой единице - ручка, причем известно, что коробка - это 6 ручек. Тогда 3 кор. = 3 × кор. = 3 × (6 руч.) = 3 × (6 × руч.) = (3 × 6) руч. Таким образом, задача решается при помощи действия умножения, поскольку в ней при измерении осуществляется переход от одной еди­ницы величины (коробка) к другой - ручка.

Чтобы установить смысл частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин, рассмотрим задачу: «6 кг муки надо разложить в пакеты, по 2 кг в каждый. Сколько получится пакетов?»

В задаче рассматривается масса муки, которая сначала измерена при помощи единицы массы - килограмм, и известно численное значение этой массы при указанной единице массы. Требуется найти результат измерения этой же массы, но уже при помощи другой единицы - пакета, причем известно, что 1 пакет - это 2 кг.

Рассуждения, связанные с поиском численного значения массы муки при новой единице - пакет, можно представить в таком виде: 6кг=6×кг=6×( пак.)=(6× ) пак. = (6:2) пак.

Видим, что ответ на вопрос задачи находится делением и что оно связано с переходом (в процессе измерения) от одной единицы массы к другой, более крупной.

Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е₁ состоит из b отрезков длины Е, то мера длины отрезка х при единице длины Е₁ равна а: b.

Данная теорема доказывается аналогично рассмотренной выше. Из этой теоремы следует, что деление натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное число а - мера длины отрезка х при единице длины Е, а натуральное число b - мера новой единицы длины Е₁ при единице длины Е, то частное а: b - это мера длины отрезка х при единице длины Е_1: а: b = m_Е (Х): m_Е1 (Е₁) = m_Е1 (Х).

Аналогичный смысл имеет частное натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Заметим, что такая трактовка частного возможна только для деления по содержанию.

Задача 3. Обосновать выбор действия при решении задачи.

«Из 12 м ткани сшили платья, расходуя на каждое по 4 м. Сколько платьев сшили?»

Решение. В задаче рассматривается длина ткани, которая измерена сначала при помощи единицы длины - метр, и известно численно значение заданной величины. Требуется найти численное значение той же длины при условии, что она измеряется новой единицей – платьем, причем известно, что платье - это 4 м, откуда метр - это платья.

Рассуждения, связанные с поиском численного значения длины при единице - платье, можно представить в таком виде: 12м=12×м=12×( пл.)=(12× )×пл.=(12:4)пл.

Таким образом, ответ на вопрос задачи находится при помощи деления, поскольку в задаче нужно перейти от одной единицы величины (метр) к другой (платье), более крупной.

Итак, умножение и деление натуральных чисел - мер величин оказалось связанным с переходом от одной единицы величины к другой в процессе измерения одной и той же величины.

Выбор действий умножения и деления при решении текстовых задач с величинами можно обосновывать иначе, используя понятие умножения и деления величины на натуральное число.

Напомним, что умножить величину А на натуральное число х – это значит получить такую величину В того же рода, что В = х × А или В =А × х, причем

Чтобы найти численное значение величины В при единице величины Е, достаточно численное значение величины А, полученное при той же единице Е, умножить на число х, т.е. если В = А × х, то m_Е (В) = m_Е (А) × х.

Рассмотрим, например,задачу: «Купили 3 пакета муки, по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили?» Чтобы ответить на вопрос задачи, надо массу 2 кг повторить слагаемым три раза, т.е. массу 2 кг умножить на число 3. Численное значение полученной при этом величины находим, умножив численное значение массы муки в одном пакете на число 3. Произведение 2 × 3 будет математической моделью данной задачи. Вычислив его значение, будем иметь ответ на вопрос задачи.

Если В = А × х, где х - натуральное число, В и А - величины одного рода, то с помощью деления решают две задачи:

- зная А и В, находят число х (х = В: А), причем х = m_Е (В): m_Е (А); это деление по содержанию;

- зная В и х, находят А (А = В: х), причем m_Е (А) = m_Е (В): х; это деление на равные части.

С этих позиций выбор действия при решении задачи «6 кг муки разложили на пакеты по 2 кг в каждый. Сколько получилось пакетов?» можно обосновать так. В задаче надо узнать, сколько раз масса 2 кг укладывается в 6 кг, т.е. надо массу 6 кг разделить на массу 2 кг. В результате должно получиться число, которое находим, разделив численное значение одной величины на численное значение другой. Таким образом, получаем частное 6:2. Его значение и будет ответом на вопрос задачи.

Пользуясь описанным подходом к трактовке умножения и деления натуральных чисел, можно обосновывать выбор действия и при решении текстовых задач с отношениями «больше в» и «меньше в».

Задача 4. Обосновать выбор действия при решении задачи.

«Купили 3 кг моркови, а картофеля в 2 раза больше. Сколько килограммов картофеля купили?»

Решение. В задаче рассматриваются масса моркови и масса картофеля, причем численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что она в два раза больше первой.

Если воспользоваться вспомогательной моделью задачи (рис. 6), то можно к. сказать, что масса картофеля складывается из двух масс по 3 кг, и, следовательно, ее численное значение можно найти, умножив 3 на 2. Найдя значение выражения 3-2, получим ответ на вопрос задачи.

М.

Цель. Уточнить на практике, что объекты (предметы, явления, процессы) могут обладать особыми свойствами, которые называются величинами. Основные положения, связанные с однородными величинами, использовать для решения задач по математике в начальной школе.

Дата добавления: 2014-12-29