Симметрия относительно точки (центральная симметрия)

Преобразования геометрических фигур. Понятие преобразования

Главной задачей геометрии является обоснование правил построения фигур с заданными свойствами. Но при построении используется понятие равенства фигур, определить которое можно через понятие преобразования.

Пусть задана некоторая фигура Р и каждой точке фигуры Р поставлена в соответствие единственная точка плоскости. Множество точек, сопоставленных точкам фигуры Р, является некоторой фигурой Р', вообще говоря, отличной от Р. Говорят, что фигура Р' получена преобразованием фигуры Р. Можно сказать также, что фигура Р' является образом фигуры Р для данного преобразования, а фигура Р - прообразом фигуры Р'.

Если А' - точка фигуры Р', соответствующая точке А фигуры Р, то говорят, что А' - образ точки А, а точка А - прообраз точки А'.

Преобразования, изучаемые в геометрии, как правило, являются взаимно однозначными, т.е. такими, при которых разным точкам фигуры соответствуют разные образы. Простейший случай взаимно однозначного преобразования - это преобразование, при котором каждой точке А фигуры вставится в соответствие эта же точка, т.е. образом фигуры Р является сама эта фигура. Такое преобразование называется тождественным преобразованием.

Рассмотрим примеры преобразований фигур.

Пусть О - фиксированная точка и А - произвольная точка плоскости. Точка А' называется симметричной точке А относительно точки О, если точки А, О, А' лежат на одной прямой и ОА = ОА' (рис. 18). Точка, симметричная точке О, есть сама эта точка.

Пусть Р - данная фигура и О - фиксированная точка плоскости. Преобразование фигуры Р в фигуру Р', при котором каждая точка А фигуры Р переходит в точку А' фигуры Р', симметричную А относительно точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О. На рисунке 19 выполнено преобразование треугольника АВС в симметричный ему относительно точки О треугольник А'В'С'.

Если преобразование симметрии относительно точки О переводит фигуру в себя, то фигура называется центрально симметричной, а точка О - ее центром симметрии.

Например, центрально симметричными являются параллелограмм (центром симметрии в нем является точка пересечения диагоналей), окружность с центром в точке О.

Дата добавления: 2014-12-29