Дискретная случайная величина

Случайные величины

Выделение множества всех событий для данного пространства элементарных событий (выделение s-алгебры) является вторым этапом в построении вероятностной модели эксперимента.

Пример: Опыт в двукратном проведении эксперимента с двумя исходами 1-“успех”, 0 -“неудача”.

w1 w2 w3 w4 4

W = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} œ-содержит 2 = 16 событий из ПЭС

œ = {Æ,W,(w1), (w2), (w3), (w4), (w1,w2), (w2,w3), (w3,w4), (w1,w3), (w1,w4), (w2,w4), (w1,w2,w3), (w1,w2,w4), (w2w3,w4), (w1,w2,w3,w4)}.

Таким образом определили s-алгебру: невозможное, достоверное события и возможные исходы.

Нахождение вероятности любого события из œ является последним (третьим) этапом в построении вероятностной модели эксперимента

(W, œ, Р) - вероятностная модель эксперимента.

Пример: Опыт с двумя исходами. Проводим один раз.

W = {1,0} «успех», «неудача»

œ = {Æ,W,(w1),(w2)} P(w1) = P

¯ ¯ ¯ ¯ P(w2) = Q P + Q = 1

Р = 0 1 Р Q

Пример: Опыт с двумя исходами проводим два раза.

W = {(0,0),(0,1),(1,0)(1,1)}

¯ ¯ ¯ ¯

Р = q² qp pq p² p² + 2pq + q² = (p + q)² = 1.

Рассмотрим конечное вероятностное пространство (W, œ, Р).

Числовая функция X=x(w) где wÎW называется случайной величиной. Обозначается случайная величина (СВ): ξ, h, X, Y, Z.

Пример: Пусть бросается игральная кость wi – число выпавших очков.

W = (w1,w2,w3,w4,w5,w6). В качестве случайной величины Х – число выпавших очков x(wi) = i.

Если число значений, которые может принимать случайная величина конечно или счётно, то она называется дискретной случайной величиной (ДСВ). В рассмотренном примере СВ – дискретная, так как она принимает только 6 значений.

Пусть имеется СВ X(w), принимающая значения х1, х2, … хn. Это значит, что в условиях данного опыта могут произойти события (Х=х1), (Х=х2), (Х=хn). Они несовместны, они также образуют полную группу событий (одно из них обязательно произойдёт). Если обозначить Р(Х=хi)=Рi,

n

то å Рi = 1

i=1

СВ считается заданной если указан закон, по которому каждому событию ставится в соответствие вероятность его проявления.

Законом распределения ДСВ называется соотношение устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

ДСВ задаётся: таблицей, графиком, функцией (аналитически).

1. Таблица

Х	Х1	Х2	Хn
Р	Р1	Р2	Рn

2. График

Р

1

Р3

Р4

Р2

Р1

х1 х2 х3 х4 Х

3. Аналитически (формулой)

k k (n-k)

Рn(k) = Cn. p q формула (схема) Бернулли

Замечание: Любую константу рассматривают как частный случай ДСВ, такая ДСВ называется вырожденной.

Простейший пример невырожденной ДСВ – индикатор.

1, wÎА – влечёт А;

Ха (w) = _

0, wÌА – не влечёт А.

Свойства индикатора: 1) ХÆ = 0, 2) ХW = 1, 3) Хав = Ха – Хв.

В теории вероятностей, часто рассматриваются случайные величины, заданные законом распределения без задания вероятностного пространства.

В случае, когда вероятностное пространство содержит счётное ПЭС, то таблица в законе распределения случайной величины будет бесконечной.

Х	Х1	Х2	…	Хn
Р	Р1	Р2	…	Рn

Дата добавления: 2014-12-29