Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, параллельно двум неколлинеарным векторам

Опр.: Два неколлинеарных вектора, параллельные плоскости, называются направляющими векторами этой плоскости.

Пусть необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельную заданным векторам и . Считаем, что такая плоскость построена, возьмем произвольную точку М(x,y,z) этой плоскости и составим вектор . При любом расположении точки М, векторы компланарны, т.е. их смешанное произведение равно 0. Запишем это условие в векторной форме: . Запишем в координатной форме:

Данный способ задания плоскости называется плоскость по точке и двум направляющим векторам и .

Пусть необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные, не лежащие на одной прямой, точки:

Считаем, что такая плоскость построена, составим два вектора и .

Эти векторы являются направляющими векторами плоскости. Составим уравнение плоскости по точке и двум направляющим векторам .

Данный способ задания плоскости называется плоскость по трем точкам.

Пример: Составить уравнение плоскости АВС, если даны координаты точек:

; ;

Решение: Составим уравнение плоскости по трем точкам:

, ,

Найдем разложение определителя по первой строке:

,

,

, разделим уравнение на 5:

.

Ответ: .

Дата добавления: 2014-12-29