Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака 1 страница

Дисперсия альтернативного признака

σ_p² =

Подставив в формулу дисперсии q = 1 - р, получим

σ_p² =

Таким образом, σ_p² = pq — дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих признаком, на долю единиц, не обладающих данным признаком.

Среднее квадратическое отклонение (σ) равно корню квадратному из дисперсии. Простое среднее квадратическое отклонение:

σ =

взвешенное

σ =

Среднее квадратическое отклонение — это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

σ_p =

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста рабочих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли, стажа работы и производительности труда и т.д. Для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией заработной платы, выраженной в рублях.

Для осуществления такого рода сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различной средней арифметической используют относительные показатели вариации

Относительные показатели вариации определяются как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической.

Это коэффициент осцилляции, определяемый как отношение размаха вариации к средней арифметической величине в процентах .

Линейный коэффициент вариации определяется аналогично, но по среднему линейному отклонению .

Наиболее распространенными из них являются коэффициент вариации.

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Относительные показатели вариации характеризуют степень колеблемости признака внутри средней величины. По величине, например, коэффициента вариации можно определить степень однородности изучаемой совокупности. Совокупность считается достаточно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. Для оценки качества, устойчивости средней величины установлены пределы. Самыми лучшими значениями коэффициента вариации являются ; допустимыми считаются значения до 50%.

6.3. Свойства дисперсии и упрощенные методы ее расчета.

Техника вычисления дисперсии по формулам достаточно сложна, а при больших значениях вариантов и частот может быть громоздкой. Расчет можно упростить, используя свойства дисперсии (доказываемые в математической статистике):

Первое свойство — если все значения признака уменьшить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия от этого не изменится;

σ²_(х-А)=σ_х²

Второе свойство— если все значения признака уменьшить в одно и то же число i раз, то дисперсия соответственно уменьшится в i² раз.

σ²_(х/i)=σ_x²:i²

Третье свойство (свойство минимальности) - средний квадрат отклонений

от любой величины А (отличной от средней арифметической) больше

дисперсии признака на квадрат разности между средней арифметической и величиной А

σ_A²=σ_x²+(x-A)²

Используя свойства дисперсии, получим следующую упрощенную формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов:

σ²= ∙ (

- момент второго порядка

- квадрат момента первого порядка

На основании последнего свойства дисперсии упрщенная формула дисперсии для любого ряда (дискретного, интервального с равным и неравным интервалами) формула дисперсии примет вид:

6.4. Виды дисперсий.

Вариация признака обусловлена различными факторами, некоторые из этих факторов можно выделить, если статистическую совокупность разбить на группы по какому-либо признаку. Тогда, наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, становится возможным изучить вариацию для каждой из составляющих ее группы, а также и между этими группами. В простейшем случае, когда совокупность расчленена на группы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством исчисления и анализа трех видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.

Общая дисперсия σ² измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общей средней и может быть вычислена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.

Межгрупповая дисперсия δ² характеризует систематическую вариацию результативного порядка, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних , от общей средней

и может быть исчислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия по формулам, соответственно:

Межгрупповая дисперсия отражает вариацию признака, положенного в основу группировки.

Внутригрупповая (частная) дисперсия (в каждой группе) σ_i², отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы х от средней арифметической этой группы , (групповой средней) и может быть исчислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия по формулам, соответственно:

На основании внутригрупповых дисперсий по каждой группе, т.е. на основании σ_i² можно определить среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным дисперсиям определить третью - неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Долю вариации группировочного признака в совокупности характеризует эмпирический коэффициент детерминации .

Глава 7.

Выборочное наблюдение.

7.1.Выборочное наблюдение как источник статистической информации.

Под выборочным наблюдением понимается такое несплошное наблюдение, при котором статистическому обследованию подвергаются единицы совокупности, отобранные в случайном порядке.

Переход статистики РФ на международные стандарты требует более широкого применения выборки для получения и анализа показателей во многих секторах экономики. К выборочному наблюдению статистика прибегает по различным причинам. Существование множества субъектов хозяйственной деятельности, которые характерны для рыночной экономики, не позволяет использовать сплошное обследование из-за огромных материальных, финансовых и трудовых затрат. Выборочное наблюдение экономит ресурсы, позволяет расширить программу наблюдения и использовать более квалифицированные кадры для проведения наблюдения. Выборочное наблюдение используют и для решения таких задач, где сплошное наблюдение применять невозможно (изучение качества продукции) или нецелесообразно, а также для уточнения и проверки результатов сплошного наблюдения. В отличие от других видов несплошного наблюдения выборочное наблюдение позволяет получить необходимые сведения приемлемой точности.

Совокупность отобранных для обследования единиц в статистике называют выборочной, а совокупность единиц, из которых производится отбор – генеральной.

Результаты выборочного статистического исследования во многом зависят от уровня подготовки процесса наблюдения. В данном случае подразумевается соблюдение определенных правил и принципов проектирования выборочного обследования. Особенно важным является составление организационного плана выборочного наблюдения. В организационный план включаются следующие вопросы:

1.Постановка цели и задачи наблюдения.

2.Определение границ объекта исследования.

3.Отработка программы наблюдения и разработки ее материалов.

4. Определение процедуры отбора, способа отбора и объема выборки.

5. Подготовка кадров для проведения наблюдения, тиражирование формуляров, инструктивных материалов.

6. Расчет выборочных характеристик и определение ошибок выборки.

6. Распространение выборочных данных на всю генеральную совокупность.

Основные характеристики параметров генеральной и выборочной совокупности обозначаются определенными символами (таблица 7.1.).

Таблица 7.1.

Символы основных характеристик параметров генеральной и выборочной совокупностей.

Характеристика	Генеральная совокупность	Выборочная совокупность
Объем совокупности (численность единиц)	N	n
Численность единиц, обладающих обследуемым признаком	M	m
Доля единиц, обладающих обследуемым признаком
Средний размер признака
Дисперсия количественного признака
Дисперсия доли

7.2. Основные способы формирования выборочной совокупности.

Достоверность рассчитанных по выборочным данным характеристик зависит от способа отбора единиц из генеральной совокупности. В каждом конкретном случае в зависимости от ряда условий выбирают наиболее предпочтительную систему организации отбора, которая определяется видом, методом и способом отбора.

По виду различают индивидуальный, групповой и комбинированный отбор. При индивидуальном отборе в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной совокупности. При групповом отборе отбираются группы единиц. Комбинированный отбор предполагает сочетание индивидуального и группового отбора.

Метод отбора определяет возможность продолжения участия отобранной единицы в процедуре отбора.

Бесповторным называется отбор, при котором попавшая в выборку единица не возвращается в совокупность, из которой осуществляется дальнейший отбор.

При повторном отборе попавшая в выборку единица после регистрации наблюдаемых признаков возвращается в исходную (генеральную) совокупность для участия в дальнейшем отборе. Повторный метод отбора применяется в тех случаях, когда характер исследования предполагает возможность повторной регистрации единиц. Например, в выборочных обследованиях населения в качестве покупателей, избирателей, абитуриентов и т. д.

Способ отбора определяет конкретный механизм выборки единиц из генеральной совокупности. В практике обследований получили распространение следующие виды выборки:

- собственно - случайная;

- механическая;

- типическая;

- серийная;

- комбинированная.

Собственно - случайная выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности наугад, без какой либо системности. Технически этот отбор проводят методом жеребьевки (использование фишек, шаров, карточек и т.д. в количестве генеральной совокупности) или по таблице случайных чисел (произвольные столбцы цифр).

Собственно-случайный отбор может быть повторным и бесповторным.

После проведения отбора для определения возможных границ генеральных характеристик рассчитывается средняя и предельная ошибки выборки.

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно в зависимости от способа отбора по формулам:

при повторном отборе ,

при бесповторном отборе , где

- выборочная (или генеральная) дисперсия;

- выборочное (или генеральное) среднее квадратическое отклонение;

- объем выборочной совокупности;

-объем генеральной совокупности

Предельная ошибка выборки связана со средней ошибкой выборки соотношением: , где

- предельная ошибка выборки;

- средняя ошибка выборки;

- коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня вероятности Р.

Таблица 7.2.

Значения t в зависимости от уровня вероятности.

Вероятность, Рi	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

Расчет средней и предельной ошибок выборки позволяет определить возможные пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности. Так для средней в генеральной совокупности эти пределы будут , где

-генеральная средняя;

- выборочная средняя;

-предельная ошибка для выборочной средней.

, а при бесповторном отборе .

Эти же показатели могут быть определены и для доли признака. В этом случае особенности расчета связаны с определением дисперсии доли, которая определяется по формуле: , где - доля единиц, обладающих признаком в выборочной совокупности.

Тогда, например, при собственно-случайном отборе для определения предельной ошибки выборки при повторном отборе используется формула:

, а при бесповторном отборе

.

Пределы доли признака в генеральной совокупности будут

.

Механическая выборка применяется в случаях, когда генеральная совокупность упорядочена, т.е. имеется определенная последовательность в расположении единиц (табельные номера работников, списки избирателей, телефонные номера, номера домов и т.д.).

Для механической выборки устанавливается пропорция отбора, которая определяется соотнесением объемов выборочной и генеральной совокупностей. Так, если генеральная совокупность 500 000 единиц и предполагается получить 2% выборку, т.е. отобрать 10 000 единиц, то пропорция отбора составит . Отбор осуществляется в соответствии с установленной пропорцией через равные интервалы. Например, при пропорции 1:50 (2% выборка) отбирается каждая 50-я единица.

Для определения средней ошибки механической выборки используется формула средней ошибки при собственно-случайном бесповторном отборе.

Типический отбор используется в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько типических групп. Например, при обследовании населения это могут быть районы, возрастные или образовательные группы и т.д.

Средняя ошибка такой выборки находится по формулам:

при повторном отборе ,

а при бесповторном отборе , где

- средняя из внутригрупповых дисперсий.

Серийный отбор удобен в тех случаях, когда единицы совокупности объединены в небольшие группы или серии. Поскольку внутри групп (серий) обследуются все без исключения единицы, средняя ошибка серийной выборки (при отборе равновеликих серий) зависит от величины только межгрупповой (межсерийной) дисперсии и определяется по следующим формулам:

при повторном отборе ,

а при бесповторном отборе , где

-число отобранных серий (групп);

- общее число серий (групп).

Межгупповую дисперсию вычисляют по формуле , где

-средняя i -ой серии (группы);

- общая средняя по всей выборочной совокупности.

7.3. Определение необходимого объема выборки.

При проектировании выборочного наблюдения вопрос о необходимой численности выборки. Эта численность может быть определена на базе допустимой ошибки при выборочном наблюдении, исходя из вероятности, на основе которой можно гарантировать величину установленной ошибки, а также на базе способа отбора.

Наиболее часто применяемые на практике формулы объема выборки

для собственно-случайной и механической выборки:

Для типической выборки:

Для серийной выборки:

В зависимости от целей исследования дисперсии и ошибки выборки могут быть рассчитаны для средней величины и для доли признака.

7.4. Малая выборка.

В практике статистического исследования в условиях рыночной экономики все чаще приходится сталкиваться с небольшими по объему так называемыми малыми выборками. Под малой выборкой понимается такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 30.

В настоящее время малая выборка используется более широко, чем раньше за счет статистического изучения деятельности малых и средних предприятий, коммерческих банков, фермерских хозяйств и т. д. Их количество, особенно при региональных исследованиях, а также величина характеризующих их показателей, часто незначительны. Поэтому хотя общий принцип выборочного обследования (с увеличением объема выборки точность выборочных данных повышается) остается, иногда приходится ограничиваться малым числом наблюдений. Необходимость в малой выборке возникает также в научно-исследовательской работе.

При оценке результатов малой выборки величина генеральной дисперсии в расчетах не используется. Для определения возможных пределов ошибки пользуются критерием Стьюдента, определяемым по формуле:

, где .

Глава 8.

Статистические методы выявления взаимосвязи.

8.1.Виды взаимосвязей.

Все явления в природе и обществе находятся во взаимной связи и взаимной обусловленности. Статистика изучает закономерности изменения одних явлений в связи с изменением других.

Народное хозяйство и отдельные предприятия характеризуются системой показателей, образующих диалектическое единство. Эти показатели связаны между собой и порождают друг друга.

Связь явлений имеет разнообразные проявления. Существуют различные формы и виды связей, которые отличаются по существу, характеру проявления, направлению, тесноте, аналитическому выражению и т.д.

По степени зависимости одного явления от другого различают в общем виде два типа связи: связь функциональную (полную) и связь стохастическую (неполную).

Функциональная связь - это связь, где каждому значению одной переменной (аргументу) соответствует одно вполне определенное значение другой переменной (функции). Такие связи широко распространены в технике, биологии, математике, Например, площадь круга определяется однозначно величиной радиуса .

При стохастической форе связи каждому значению одного признака (факторного) соответствует целый ряд значений другого признака (результативного). Следовательно, стохастическая связь проявляется не в каждом отдельном случае, а лишь в среднем для совокупности явлений данного вида.

Социально - экономические процессы и явления - это результат действия многочисленных факторов. Одни из них поддаются точному измерению, а другие - нет, т.е. их можно измерить только приближенно. Для социально- экономических явлений характерен тот факт, что наряду с факторами, определяющими исследуемую зависимость, действуют многочисленные случайные факторы. Поэтому зависимость проявляется не в каждом отдельном случае, а лишь, в общем, в среднем.

Статистика призвана определять наличие связи между явлениями, ее направление и форму выражения, измерять тесноту этой связи.

8.2. Методы изучения взаимосвязей.

Для изучения связи между явлениями статистика использует ряд методов и приемов, важнейшие из которых: метод приведения параллельных рядов, метод группировок, индексный метод, балансовый метод и группа корреляционных методов.

Метод приведения параллельных рядов заключается в установлении связи между явлениями посредством сопоставления двух или нескольких рядов показателей. Такое сопоставление производится после того, как теоретически доказана возможность связи между изучаемыми показателями. Сопоставление параллельных рядов позволяет установить наличие связи и получить представление о ее характере. Сущность метода параллельных рядов заключается в следующем: факторный признак располагается в возрастающем (или убывающем) порядке и параллельно располагаются соответствующие значения одного или нескольких результативных признаков. Сравнивая, расположенные таким образом ряды показателей, выявляется существование связи и ее направление.

Метод параллельных рядов прост и достаточно эффективен на первых стадиях исследования.

Метод аналитических группировок позволяет не только констатировать наличие связи между изучаемыми признаками, но и выявлять причины этой связи. Чтобы анализировать сложные взаимные связи между несколькими признаками применяются комбинационные группировки. В основе группировки всегда факторный признак. Затем для каждой выделенной группы рассчитываются обобщающие показатели. В итоге рассматривают, какое влияние оказывает факторный признак на результативный. С помощью метода группировок можно рассматривать одновременное действие нескольких признаков – факторов, а также характеризовать структуру совокупности.

Балансовый метод заключается в построении различных балансовых равенств в виде соотношений между наличием и распределением тех или иных ресурсов, ввозом и вывозом и т. д. Простейшим балансом такого рода является баланс материальных ресурсов на предприятии, Здесь балансовое равенство можно записать так:

Остаток на начало периода + поступление = расход + остаток на конец периода. Балансы позволяют выявить взаимосвязи в образовании и распределении ресурсов между предприятиями, районами и т. д., позволяют анализировать сложившиеся пропорции и зависимости. Такого рода балансы распространены в торговле, балансовым методом изучают движение рабочей силы, финансов, основных фондов и т. д. На основе балансов выявляют важные для анализа развития народного хозяйства показатели.

Индексный метод служит для определения роли отдельных факторов в изменении изучаемого явления с целью воздействия на положительно влияющие факторы. Исследование удельного веса факторов опирается на взаимосвязи связанных явлений. Факторный индексный анализ позволяет численно точно определить степень влияния каждого фактора в совместном влиянии факторов.

Дата добавления: 2014-12-29