Table 2

Задания для самостоятельной работы

Задание:

1. Написать математическую модель;

2. Проверить наличие допустимых решений;

3. Найти оптимальное решение методом приоритетов и методом весовых коэффициентов.

Результаты работы необходимо оформить в виде отчета, который должен содержать:

1. Описание проблемы принятия решения;

2. Математическую модель проблемы принятия решения в виде задачи линейного программирования;

3. Результаты решения задачи с помощью Excel, в т.ч. итоговую таблицу с оптимальным решением (указать имя файла Excel);

4. Выводы.

1. Администрации города Gotham City необходимо определить количество машин скорой помощи, необходимых для обслуживания двух городских районов в течение года. По оценкам специалистов содержание и обслуживание одной машины обходится в $5000 за год. Каждая машина должна быть закреплена за одним районом. Если через , обозначить число машин, закрепленных за районами 1 и 2 соответственно, то среднее время ответа машины скорой помощи на вызов из района 1 составляет в среднем () минут, а для ответа на вызов из района 2 требуется в среднем () минут.

При планировании администрация Gotham City преследует три цели (цели расположены в порядке уменьшения предпочтения):

· Цель 1: Среднее время ответа на вызов из района 1 не должно превышать 5 мин.

· Цель 2: Среднее время ответа на вызов из района 2 не должно превышать 5 мин.

· Цель 3: Затраты на обслуживание санитарных машин не должны превышать $100 000 в год.

Используя целевое программирование, определите методом приоритетов количество машин, которое должно быть закреплено за каждым районом. Как изменится решение задачи, если изменить порядок предпочтения целей следующим образом: главной целью является Цель 3, затем следуют цели 1 и 2?

Покажите, как решается эта задача с учетом дополнительной информации, предоставленной финансовым отделом. Проведенные исследования показывают, что каждая минута среднего времени ответа сверх установленного пятиминутного норматива оценивается для каждого района в $10 000 дополнительных издержек (другими словами каждая сверхнормативная минута эквивалентна расходам в $10000). С другой стороны, каждый доллар сверх установленного бюджета также рассматривается как штраф в $1.

2. Компания Fruit Computer, производящая компьютеры, собирается разместить очередной ежегодный заказ на закупку компьютерных чипов. Компания закупает чипы наборами по 100 штук у трех поставщиков. Предлагаемые чипы делятся на три группы согласно их качеству: “excellent”, “good” и “mediocre”. В течение предстоящего года компании необходимо 5000 чипов “excellent”, 3000 чипов “good” и 1000 — “mediocre”. Данные о поставщиках приведены в Табл. 47.

Табл. 47 Данные о постащиках чипов для компании Fruit

	Число чипов в наборе из 100 штук	Стоимость набора (100 шт.)
Производитель 1				$400
Производитель 2				$300
Производитель 3				$250

Суммарные расходы на закупку чипов компанией Fruit на год не должны превышать $28000.

Используя целевое программирование, определите план закупок. При этом главной целью является условие не превышения бюджета, за которой по порядку следуют цели, состоящие в приобретении указанного количества чипов “excellent”, “good” и “mediocre”.

Дополнительно. Если компания не обеспечена чипами определенного качества в необходимом количестве, она может закупать чипы по специальной цене: “excellent” — по $10, “good” — по $6 и “mediocre” — по $4 за штуку. Компания Fruit расценивает каждый доллар, потраченный сверх годового бюджета на покупку чипов, как штраф в $1. Определить, как компания Fruit может минимизировать штраф, связанный с необходимостью закупки чипов в строго определенном количестве.

3. Компания Hiland Appliance должна установить план закупки цветных телевизоров и видеомагнитофонов. Стоимость одного телевизора — $300, а видеомагнитофона — $200. При хранении на складе телевизор занимает 3 кв. метра, а видеомагнитофон — 1 кв. метр. Продажа одного телевизора приносит компании прибыль в $150, а прибыль от продажи видеомагнитофона составляет $100. Целями компании Hiland являются следующие (расположены в порядке уменьшения предпочтения):

· Цель 1: На покупку должно быть потрачено не более $20000.

· Цель 2: Суммарная прибыль от продаж должна составить не менее $11000.

· Цель 3: Общая площадь, которую занимают телевизоры и видеомагнитофоны на складе, не должна превышать 200 кв. метров.

Используя целевое программирование, определите план закупки для компании Hiland.

Как изменится формулировка задачи целевого программирования, если изменить Цель 2, потребовав, чтобы прибыль от продажи составляла ровно $11000?

4. Для производства колбасы компании Deancorp требуется говядина, свинина, баранина и вода. Стоимость одного килограмма каждого ингредиента, а также содержание белков и жиров в одном килограмме продукта приведены в Табл. 48.

Табл. 48 Данные компании Deancorp

	Говядина	Свинина	Баранина	Вода
Жиры (в кг.)	0.05	0.24	0.11
Белки (в кг.)	0.20	0.26	0.08
Стоимость (в центах)

Deancorp собирается произвести 100 килограммов колбасы. Цели компании (в порядке уменьшения предпочтения):

· Цель 1: Колбаса должна содержать, по крайней мере, 15% белков.

· Цель 2: Колбаса должна содержать не более 8% жиров.

· Цель 3: Стоимость 1 килограмма колбасы не должна превышать 8 центов.

Используя целевое программирование, определить наиболее подходящий состав колбасы.

5. В бизнес колледже преподают четверо преподавателей. В течение одного семестра каждый из 200 студентов, обучающихся в колледже, должны прослушать следующие курсы: Маркетинг, Финансы, Производство и Статистика. Каждый преподаватель может обучать 200 студентов в течение одного семестра. Уровень преподавания курса оценивается с помощью баллов (по 10-ти бальной системе). Данные об «эффективности» преподавания курсов каждым преподавателем приведены в Табл. 49.

Табл. 49 Эффективность работы преподавателей

	Маркетинг	Финансы	Производство	Статистика
Преподаватель 1
Преподаватель 2
Преподаватель 3
Преподаватель 4

По распоряжению декана, средний уровень преподавания курса должен быть не ниже 6 баллов. Отклонения от данного требования по каждому из курсов имеют одинаковую степень важности.

Составьте график занятости преподавателей колледжа на семестр.

6. Компания Stockco производит 2 вида продукции. Информация об этих видах продукции приведена в Табл. 50. Целью компании является получение $48 прибыли, за каждый $1 недополученной прибыли штраф — $1. Общее количество рабочего времени, которым располагает компания, составляет 32 часа. За каждый сверхурочный час (свыше 32 часов) также следует штраф в $2, а за каждый неиспользованный час (из этих 32 часов) штраф в $1. Необходимо произвести, по крайней мере, 7 единиц продукции 1–го вида и 10 единиц продукции 2–го вида. За каждую недостающую единицу продукции любого вида штраф равен $5.

Табл. 50 Данные компании Stockco

	Продукция 1	Продукция 2
Трудозатраты (час.)
Прибыль	$4	$2

Предположим, что компания преследует следующие цели (в порядке убывания важности):

· Цель 1: использовать все рабочее время (32 часа);

· Цель 2: обеспечить требуемую поставку продукции 1–го вида;

· Цель 3: обеспечить требуемую поставку продукции 2–го вида;

· Цель 4: не использовать сверхурочное рабочее время.

Используя целевое программирование, определите оптимальный производственный план компании.

Определите, как компания может минимизировать общую сумму штрафов.

7. В небольшом городке проживает около 20 тысяч жителей. Городской совет разрабатывает ставки местного налогообложения. Ежегодная база налогообложения недвижимости составляет 550 миллионов долларов. Ежегодная база налогообложения розничных и оптовых продаж составляет 35 и 55 миллионов долларов соответственно. Ежегодное потребление городом бензина оценивается в 7,5 миллиона галлонов. Городской совет планирует разработать систему налоговых ставок, основанную на перечисленных базах налогообложения и учитывающую следующие ограничения и требования.

1. Налоговые поступления должны составить не менее 16 миллионов со всех баз налогообложения;

2. Налог с розничных продаж не может превышать 10% от суммы всех собираемых налогов;

3. Налог с оптовых продаж не может превышать 20% от суммы всех налогов;

4. Налог на бензин не может превышать 2 центов за галлон.

5. Поступления от налога на бензин должны составлять не менее 1% от общих налоговых поступлений.

Используя целевое программирование определить систему налоговых ставок, предполагая, что условия расположены в порядке убывания важности. Изменится ли система, если порядок предпочтений будет ровно противоположным?

8. Руководство супермаркета планирует провести несколько специальных мероприятий для привлечения потенциальных покупателей. Два основных (наиболее популярных) — концерт и выставка, посещают практически все слои населения, которые менеджеры супермаркета условно разбивают по трем возрастным группам: тинейджеры, группа среднего возраста и старшая возрастная группа. Стоимость одного концерта и одной выставки составляет $1500 и $3000 соответственно. Общий годовой бюджет этих мероприятий не должен превышать $15 000. Менеджеры супермаркета оценивают посещаемость своих мероприятий следующим образом:

Табл. 51 Данные о посещаемости мероприятий супермаркета

Мероприятие	Количество посетителей по группам
Тинейджеры	Средняя группа	Старшая группа
Концерт
Выставка

Руководство супермаркета считает, чтобы их мероприятия должны посетить не менее 1000 подростков, не менее 1200 людей среднего возраста и не менее 800 человек из группы старшего возраста.

Определите с помощью целевого программирования наилучший план мероприятий. Как изменится решение, если привлечение посетителей средней возрастной группы в два раза важнее, чем привлечение посетителей других возрастных групп.

9. Птицефабрика ежедневно потребляет 3 тонны специальных кормов для производства кормовой смеси.. Кормовая смесь состоит из известняка, зерна и соевой муки и должна удовлетворять следующим требованиям рационального питания:

· Кальций — не менее 0,8% и не более 1,2%;

· Белок — не менее 22%;

· Клетчатка — не более 5%.

В Табл. 52 приведен состав ингредиентов, составляющих кормовую смесь (в кг. на кг. ингредиента).

Табл. 52 Состав ингредиентов (в кг. на кг. ингредиента)

Ингредиент	Кальций	Белок	Клетчатка
Известняк	0,38	0,00	0,00
Зерно	0,001	0,09	0,02
Соевая мука	0,002	0,5	0,08

С помощью целевого программирования определите рацион рационального питания, предполагая отклонения от требований равными по важности.

10. Рекламному агентству Леона Бернита необходимо разместить на телевидении рекламу автомобильной компании “Priceler”. В соответствие с пожеланиями “Priceler” данная реклама должна быть просмотрена (цели расположены в порядке убывания важности):

· Не менее чем 40 млн. мужчин, чей уровень дохода достаточно велик (HIM);

· Не менее чем 60 млн. людей среднего достатка (LIP);

· Не менее чем 35 млн. женщин, чей уровень дохода тоже велик (HIW).

Агентство может разместить одноминутные рекламные ролики во время трансляции футбольного матча или во время “мыльной оперы”. Суммарные расходы на рекламу не должны превысить $600 000.

В Табл. 53 приведены данные о численности аудитории потенциальных зрителей (в млн. человек на один ролик) и стоимости показа одного рекламного ролика.

Табл. 53 Численность аудитории и стоимость показа рекламы агентства Леона Бернита

Время показа	HIM	LIP	HIW	Стоимость
Футбольный матч				$100 000
“Мыльная опера”				$60 000

Компания “Priceler” желает составить такой план показа рекламных роликов, чтобы по возможности все три основные цели были удовлетворены.

По оценкам экспертов каждый миллион зрителей из группы HIM, не посмотревший рекламу, влечет за собой штраф (вследствие упущенной выгоды) в $200 000, каждый миллион из группы LIP — штраф в $100 000, каждый миллион из группы HIW — штраф в $50 000. Покажите, каким образом эта информация может быть учтена при составлении плана рекламной компании.

11. Аудиторская компания Touche Young должна выполнить три задания в течение месяца. Задание 1 требует для своего выполнения 500 рабочих часов, задание 2 — 300 часов, а задание 3 — 100 часов. В настоящий момент в фирме работают пятеро ведущих сотрудников, пятеро старших сотрудников и пятеро младших сотрудников, каждый из которых может работать по 40 часов в неделю. Почасовой заработок каждого из сотрудников в зависимости от вида работы, приведен в таблице (см. Табл. 54).

Табл. 54 Почасовой заработок сотрудников

	Задание 1	Задание 2	Задание 3
Ведущий сотрудник	$160	$120	$110
Старший сотрудник	$120	$90	$70
Младший сотрудник	—	$50	$40

Прочерк в таблице означает, что квалификация младшего сотрудника недостаточна для участия в указанном задании. Все три задания должны быть закончены в срок. При составлении графика занятости руководство компании преследует следующие цели (в порядке уменьшения предпочтения):

· Цель 1: Суммарный месячный заработок должен составлять не менее $68000.

· Цель 2: К работе можно привлечь не более одного ведущего сотрудника;

· Цель 3: Старших сотрудников должно быть занято не более трех.

· Цель 4: Необходимо привлечь к работе не более пяти младших сотрудников.

Используя метод приоритетов целевого программирования, составьте план занятости сотрудников компании Touche Young.

12. Производство двух видов изделий требует выполнения двух последовательных операций. В таблице (Табл. 55) приведено время (в минутах) выполнения каждой операции при изготовлении изделий.

Табл. 55 Время, необходимое для изготовления изднлий

Операция	Изделие 1	Изделие 2

Ежедневная норма производства изделий первого и второго вида составляет соответственно 80 и 60 единиц. На выполнение каждой операции отводится по 8 часов в день. Сверхурочные работы нежелательны, хотя при необходимости (для выполнения плана) возможны. Решите проблему, используя целевое программирование.

13. A company produces two products. Relevant information for each product is shown in Table. The company has a goal of $48 in profits and insures a $1 penalty for each dollar it falls short of this goal. A total of 32 hours of labor are available. A $2 penalty is incurred for each hour of overtime (labor over 32 hours) used, and $1 penalty is incurred for each hour of available labor that is unused. Marketing considerations require that at least 7 units of product 1 be produced and at least 10 units of product 2 be produced. For each unit (of either product) by which production falls short of demand, a penalty of $5 is assessed.

	Product 1	Product 2
Labor required	4 hours	2 hours
Contribution to profit	$4	$2

Formulate an LP model that can be used to minimize the total penalty incurred by the company.

Suppose the company sets (in order of importance) the following goals:

1. Avoid underutilization of labor.

2. Meet demand for product 1.

3. Meet demand for product 2.

4. Do not use any overtime.

Formulate and solve goal programming model for that situation.

Литература

Дата добавления: 2014-12-29