Формула Циолковского

Движения тела переменной массы.

Имеется много случаев, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества. Типичным примером такой ситуации является реактивное движение, которое осуществляется за счет выброса из сопла ракеты раскаленных газов. Выбрасываемое вещество, в свою очередь, воздействует на ракету и увеличивает ее скорость в противоположном направлении.

Рассмотрим задачу о реактивном движении для наиболее простого случая, когда ракета движется в дальнем космосе, так что воздействием на нее Земли и других планет можно пренебречь. Ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Суммарный импульс такой системы не меняется во времени, и именно закон сохранения импульса лежит в основе решения этой задачи.

Пусть - масса ракеты в произвольный момент времени , - ее скорость относительно некоторой инерциальной системы отсчета, а - импульс в тот же момент времени (рис.3.3). По истечении времени суммарный импульс ракеты и газов, образовавшихся за это время, в соответствии с законом сохранения импульса не изменится, то есть

, (3.18)

где - масса образовавшегося газа, - скорость истечения газов из ракеты, - скорость газа относительно выбранной системы отсчета.

Выполнив преобразования и отбросив член , как бесконечно малую высшего порядка, получим

. (3.19)

Для нахождения максимальной скорости ракеты проинтегрируем (3.19), допуская, что начальная скорость ракеты равна нулю, ее стартовая масса равна , а конечная масса - . В результате интегрирования получим

. (3.20)

Полученное соотношение (3.20) называется формулой Циолковского. Эта формула позволяет рассчитать запас топлива, необходимый для реализации космических полетов на ракетах. Так, при скорости истечения газов 2км/с, для достижения первой космической скорости () необходимо, чтобы отношение начальной массы ракеты к ее конечной было равно 55. Это означает, что почти 98% массы ракеты приходится на топливо. Путь преодоления этой трудности был указан Циолковским. Он впервые обосновал необходимость использования многоступенчатых ракет для достижения космических скоростей.

Не представляет особых трудностей обобщение представленного рассмотрения на случай действия внешних сил. В соответствии с законом изменения импульса

. (3.21)

Приведем данное выражение к виду

. (3.22)

Векторная величина

(3.23)

имеет размерность силы и называется реактивной силой. Она характеризует механическое действие на тело отделяющихся от него или присоединяющихся к нему частиц.

Уравнение (3.22) называется уравнением Мещерского и позволяет решать любые задачи механики, связанные с движением тел переменной массы.

Дата добавления: 2014-12-29