Уравнения, левая часть которого есть точная производная

Если в уравнении

(20)

левая часть является точной производной от некоторой функции , т. е.

то

(21)

будет первым интегралом уравнения (20). В ряде случаев может случится так, что уравнение (21) также будет уравнением в точных производных. Тогда найдем второй интеграл уравнения (20).

Пример 10. Найти общий интеграл уравнения: .

▲ Так в левой части у каждой из дробей в числителе стоит производная от знаменателя, то можно исходное уравнение записать в виде:

.

Мы видим, что полученное уравнение является уравнением в точных производных, и оно имеет первый интеграл

или .

Интегрируя это уравнение, найдем

.

Это есть общий интеграл исходного уравнения. ▲

Если уравнение (20) не является уравнением в точных производных, то можно подобрать такую функцию , после умножения на которую, уравнение (20) становится уравнением в точных производных.

Пример 11. Рассмотрим уравнение из примера 9.

▲ Если помножить это уравнение на , то получим

.

Из этого уравнения видно, что его правая и левая части есть точные производные

,

откуда интегрированием можно найти

или

.

Интегрируя это уравнение получим при разных значениях С ₁ решение исходного уравнения в явном виде. Например, если С ₁ > 0, то

,

если С ₁ < 0, то

,

если С ₁ = 0, то

.▲

Пример 12. Найти решение уравнения: .

▲ Если умножить обе части этого уравнение на , то получим

.

Из этого уравнения видно, что его правая и левая части есть точные производные

,

поэтому, интегрируя это уравнение, находим:

.

Из уравнения выразим:

. (*)

Далее предположим, что , а . Из первого уравнения найдем:

.

Подставив полученное уравнение, а также уравнение в (*), получим:

.

Из уравнения найдем

с учетом того, что , окончательно можно записать общее решение исходного уравнения:

.▲

Задания для самостоятельной работы

Проинтегрировать уравнения и, где указано, найти решения, удовлетворяющие начальным условиям.

1. . 2. .

3. .

4. . 5. .

6. . 7. . 8. .

9. . 10. .

3. Уравнения п -го порядка, допускающие понижения порядка.

3.1. Уравнения вида

Если дифференциальное уравнение имеет вид

,

то его порядок можно понизить с помощью подстановки

.

Действительно, тогда получим уравнение

,

порядок которого на k единиц меньше исходного уравнения.

Пример 13. Найти решение уравнения: .

▲ Сделаем замену , и вычислим тогда исходное уравнения будет иметь вид:

.

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

,

интегрируя его, находим

,

откуда

или .

Далее дважды интегрируем последнее уравнение, получаем:

.▲

3.2. Уравнение вида

Порядок дифференциального уравнения вида

(22)

может быть понижен, если ввести замену , где - новая неизвестная функция, а переменная у является аргументом.

Вычислим производные

подставляя производные в исходное уравнение (22) мы получаем уравнение (n – 1)-го порядка с искомой функцией р от независимой переменной у.

Принимая у за независимую переменную. Мы могли потерять решение вида y = const. Непосредственной подстановкой y = b в уравнение (22) можно выяснить, имеет ли оно решение такого вида.

Пример 14. Проинтегрировать уравнение: .

▲ Сделаем замену и приняв у за новую переменную, получим

,

тогда исходное уравнение можно записать в виде:

Для того чтобы решить это уравнение предположим, что , тогда

.

Следовательно, получаем уравнение

,

которое является неоднородным линейным уравнением 1-го порядка. Для его решения воспользуемся формулой Эйлера:

.

Следовательно,

,

откуда находим

.

Интегрируя это уравнение, получаем

.

Функция у = 0 также будет решением исходного уравнения и притом частным. ▲

Дата добавления: 2014-12-29