Решение уравнений второго порядка с помощью рядов

Пусть дано уравнение

(100)

и поставлены начальные условия

(101)

Если коэффициенты уравнения (100) р (х) и q (x) разложимы в степенные ряды по степеням :

, (102)

сходящиеся в области , то уравнение (100) имеет единственное решение у = у (х), удовлетворяющее начальным условиям (101) и разложимое в сходящийся в той же области , что и ряды (102), степенной ряд разности :

. (103)

Если заданы числа у ₀ и , коэффициенты ряда (103) определяются единственным образом, например, подстановкой ряда (103) в уравнение (100) и приравниванием нулю коэффициентов при различных степенях в левой части полученного равенства.

Для построения общего решения уравнения (100) достаточно найти два линейно независимых частных решения у ₁ и у ₂. Обычно строят фундаментальную систему решений у ₁ и у ₂, нормированную в точке х = х ₀, так что: .

Если ряд (103) представляющий решение уравнения (100), удается просуммировать, то есть выразить его сумму через элементарные функции, то второе частное решение можно найти по формуле

(104)

Пример 49. Для уравнения

найти фундаментальную систему решений, нормированную в точке х =0 и построить общее решение.

▲ Представим исходное уравнение в виде

.

Коэффициенты этого уравнения разлагаются в ряды по степеням х, сходящиеся в области < 1. Поэтому для этого уравнения существуют частные решения у ₁ и у ₂, представимые в виде степенных рядов (103), причем эти ряды, сходятся по крайней мере при <1.

Найдем у ₁ нормированное в точке х =0, для представим его в виде ряда

и вычислим :

Подставив найденные выражения в исходное уравнение, получим:

.

Далее приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, найдем значения всех коэффициентов:

Таким образом,

Частное решение у ₂ ищем в виде

После подстановки этого решения и его производных в исходное уравнение мы, так же, как и проделывали выше, найдем все коэффициенты C_k. В результате получим

Таким образом, общим решением исходного уравнения будет:

.▲

Многие задачи математики и физики приводят к дифференциальным уравнениям 2-го порядка вида (100), коэффициенты которых – рациональные функции

(105)

где - многочлены. Можно считать, что эти дроби несократимы; тогда в точках, в которых , хотя бы один из коэффициентов уравнения (100) обратится в бесконечность. Такие точки будут особыми точками уравнения (100).

Пусть х = х ₀ – особая точка уравнения (100), тогда в окрестности этой точки решение уравнения (100) невозможно представить в виде простого степенного ряда (103). Однако, в этом случае решение можно представить в виде сходящегося в области обобщенного степенного ряда вида:

. (106)

Для определения показателя r и коэффициентов С_k нужно подставить ряд (106) в уравнение (100), сократить на и приравнять нулю коэффициенты при различных степенях х – х ₀. При этом число r находится из так называемого определяющего уравнения в особой точке х = х ₀:

. (107)

Коэффициенты p ₀ и q ₀ этого уравнения можно найти по формулам:

. (108)

В случае, когда корни определяющего уравнения (107) различны, уравнение (100) всегда имеет решение вида (106), где r есть тот из корней , который имеет большую вещественную часть. Если - этот корень, то решение имеет вид

(109)

Если разность корней определяющего уравнения (107) не является целым положительным числом, то существует решение в виде обобщенного степенного ряда, соответствующее и второму корню :

(110)

Если же есть целое положительное число, то второе частное решение или снова имеет вид (110), или же представляет собой сумму обобщенного степенного ряда и произведения некоторого обобщенного степенного ряда на ln (x – x ₀):

(111)

Наконец, если корни определяющего уравнения (107) равны между собой , тот существует только одно частное решение в виде обобщенного степенного ряда. Второе же решение обязательно содержит ln(x – x ₀). Его следует искать в виде

(112)

Пример 50. Найти решение уравнения

▲ Это уравнение называется уравнением Бесселя, его решение будем искать в виде обобщенного степенного ряда в виде (106), предполагая при этом, что х ₀=0, т.е.

Дифференцируя этот ряд дважды, и подставляя выражения в исходное уравнение, получим

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях этого уравнения, получим систему

Так как коэффициент при С ₀ при низшей степени х можно считать отличным от нуля, то первое уравнение сводится к

.

Будем считать, что ; тогда из второго уравнения

,

получим , так как , при любом значении п.

Рассмотрим последнее уравнение системы

,

и придавая k значения 3,5,7,…, заключаем, что

.

Для коэффициентов с четными номерами получаем выражения

Подставляя найденные коэффициенты в ряд (106), получим решение

где коэффициент С ₀ остается произвольным.

При все коэффициенты С_k совершенно аналогично определяются только в случае, когда п не равно целому числу. Тогда решение можно получить, заменяя в предыдущем решении величину п на – п:

Полученные степенные ряды сходятся для всех значений х, что легко устанавливается на основании признака Даламбера. Решения и линейно независимы, так как их отношение не является постоянным.

Решению можно придать более удобный вид, если произвольную постоянную С ₀ выразить как

,

где Г – гамма-функция Эйлера, которая определяется несобственным интегралом

Тогда

.

Это решение называется функцией Бесселя (или цилиндрической функцией) порядка п первого рода и обозначается как . Решение обозначается как .

Следовательно, общее решение исходного уравнения Бесселя при п, не равном целому числу, имеет вид

где С ₁ и С ₂ – произвольные постоянные.

Согласно свойствам гамма-функции, а именно

функции Бесселя при натуральном п можно придать вид

.

Для отрицательного и целого п частное решение не выражается функцией Бесселя первого рода и его следует искать в виде

Подставляя это выражение в исходное уравнение Бесселя, можно определить коэффициенты b_k. Функция , умноженная на некоторую постоянную, называется функцией Бесселя п-го порядка второго рода.

Итак, общее решение уравнения Бесселя при п, не равном целому числу, имеет вид

,

а при п, равном целому числу

,

где С ₁ и С ₂ – произвольные постоянные.

Пример 51. Найти функцию Бесселя при п = 0.

▲ Воспользовавшись равенством

.

При п = 0 получим

▲

Пример 52. Решить уравнение

.

▲ Это уравнение Бесселя, которое может быть записано в виде:

.

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид:

.▲

Пример 53. Решить уравнение

.

▲ Так как в этом уравнении п = ½, то общее решение уравнения имеет вид

,

где -

Точно так же получим и . Следовательно, общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

.▲

Рассмотрим уравнение вида

, (113)

где п - целое положительное число (n 0,1,2,…, k); которое называется уравнением Лежандра.

Одним из решений уравнения Лежандра является сходящийся ряд, называемый полиномом Лежандра или шаровой функцией:

(114)

Фундаментальная система решений уравнения (113) имеет вид:

(115)

где Q(x) –функция Лежандра второго рода.

Исходя из фундаментальной системы (115) общее решение уравнения Лежандра имеет вид:

(116)

Для успешного решения уравнений Лежандра, необходимо определить некоторые свойства его полиномов:

Дата добавления: 2014-12-29