КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Применение метода наименьших квадратов
Рассмотрим возможность применения метода наименьших квадратов к задаче аппроксимации функции двух переменных. Аппроксимирующую функцию будем задавать в виде: , (2.164) где , заданные базисные функции. Точки на плоскости заданы в виде: , . Вычислим среднеквадратическое отклонение , где , Коэффициенты найдем из условия: . (2.165) Введем в рассмотрение вектор , (2.166) где матрица и вектор равны: , . (2.167) Вектор ошибок можно представить в виде , где . Учитывая (2.166), и равно: . (2.168) В (2.168) обозначает след матрицы (сумму диагональных элементов матрицы). Последнее соотношение в (2.168) получено в силу очевидного свойства для матрицы и векторов : . Найдем минимум (2.165) из условия: . (2.169) Тогда, применяя правила дифференцирования следа от матрицы по векторному или матричному аргументу , (здесь – некоторые векторы или матрицы), получим: . (2.170) В силу условия (2.169) из соотношения (2.170) получим уравнение , решение, которого и даст аналитическое выражение для вектора неизвестных параметров : . (2.171) В (2.171) матрица Грама должна быть невырожденной. Отметим, что метод наименьших квадратов может быть легко обобщен на случай аппроксимации функций с большим количеством переменных. Основная трудность в этом методе заключается в выборе базисных функций. Однако в некоторых случаях базисные функции могут быть выбраны достаточно просто. Пример. 2.13. Требуется построить по данным , представленным в таблице Таблица 2.15.
аналитическое выражение для производственной функции типа Кобба-Дугласа, которое используется достаточно часто в экономических расчетах:
, (2.172) где параметры, подлежащие определению. Прологарифмировав (2.172), в результате получим: . Тогда в качестве базисных функций естественно взять следующие: , , . Матрица и вектор в данной задаче имеют вид: , . Выполнив расчеты по формуле (2.171), найдем вектор : . Окончательно имеем: , , . На рис. 2.10 приведена поверхность, иллюстрирующая производственную функцию типа Кобба-Дугласа , которая построена в области: , .
Рис. 2.10. Поверхность функции Кобба-Дугласа
Дата добавления: 2014-12-29; Просмотров: 376; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |