Численное дифференцирование при неравноотстоящих узлах

При расчетах значений производных, в случае неравноотстоящих узлов можно использовать формулу Лагранжа. Например, при вычислении первой производной в точке , не совпадающей с узлами таблицы , , получим формулу

. (3.4)

Ошибка операции численного дифференцирования может быть определена по производной остаточного члена многочлена Лагранжа

=

. (3.5)

В (3.5) слагаемое присутствует по той причине, что точка зависит от значения .

Если же вычислению подлежит значение в узле , то можно воспользоваться формулой:

, (3.6)

где второе слагаемое получено из (3.4) с использованием правила Лопиталя. Оценка погрешности в этом случае упрощается, так как первое слагаемое в (3.5) обращается в ноль, и тогда ошибка будет равна

.

По аналоги можно получить формулы численного дифференцирования для производных более высоких степеней.

Пример 3.1. Выведем формулы численного дифференцирования, полученные на основе дифференцирования формулы Лагранжа для следующей таблицы

Таблица 3.1.

		0,5	1,0
	1,5	1,1	1,7

Построим сначала многочлен по двум узлам и :

,

где .

Остаточный член имеет вид

.

Продифференцировав эти формулы, получим:

. (3.7)

Вычислим производную остаточного члена для узла , учитывая формулу (3.6):

. (3.8)

Формула (3.7) дает выражение для 1-ой производной и имеет первый порядок точности.

Построим многочлен Лагранжа по трем узлам и его производную:

,

. (3.9)

Вычислим значения первой производной по формуле (3.9) и остаточные члены по формуле (3.6) в узловых точках:

, ,

, ,

, .

Итак, вычислив значения первой производной по трем узлам, получаем формулы с точность 2-го порядка. Увеличив число узлов на единицу, порядок точности формул для вычисления 1-ой производной также увеличится на единицу. То есть порядок точности формул для производных первого порядка на единицу меньше числа узлов. Отметим, что для вычисления потребовались значения функции в двух точках, при этом порядок точности такой же, как для трех точек. Причиной этого является то, что вычисляется по формуле центральных разностей.

В случае численного дифференцирования при неравноотстоящих узлах можно воспользоваться также формулой Ньютона (2.24). Тогда, представив многочлен Ньютона в виде

, (3.10)

где , получим:

(3.11)

Если первая производная в (3.11) оценивается по первому слагаемому, то она имеет первый порядок точности, если по первым двум слагаемым, то ее порядок точности будет равен 2 и т.д.

По аналогии можно вычислить и другие производные, например, численно оценить производную 2-го порядка можно по формуле

. (3.12)

Пример 3.2. Таблица значений функции имеет вид:

Таблица 3.2.

	0,1	1,1	1,4	1,7
	2,235	1,347	1,125	1,016

Требуется найти аналитическое выражение для оценки второй производной функции. Таблица разделенных разностей для заданной функции имеет вид (см. п. 2.5):

Таблица 3.3.

		Разделенные разности 1-го порядка	Разделенные разности 2-го порядка	Разделенные разности 3-го порядка
0,1	2,235	-8,800	6,055	-0,036
1,1	1,347	-2,220	6,004
1,4	1,125	0,182
1,7	1,016

Тогда выполнив расчеты по формуле (3.12) получим:

.

Остаточный член для этой формулы можно вычислить, продифференцировав формулу (3.5) по .

Дата добавления: 2014-12-29