КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Численное дифференцирование при равноотстоящих узлах
В этом случае в качестве аппроксимирующей функции выбирается многочлен в зависимости от положения точки и значения переменной , которая осуществляет связь с переменной . В качестве интерполирующей функции можно выбрать один из интерполяционных многочленов, описанных в разделе 2.14. Пусть точка , в которой необходимо выполнить операцию численного дифференцирования находится в средине таблицы и для справедливо . Тогда выберем формулу Стирлинга: (3.13) Дифференцируя по левую и правую части равенства (3.13), учитывая связь между и , получим: . (3.14) Для второй производной имеем: . (3.15) Рассмотрим задачу вычисления первой производной по формуле (3.14), в которой будут учитываться только первых два слагаемых. Тогда для частного случая дифференцирования в точке (в этом случае ) получим: , (3.16) где . (3.17) Формула (3.17) получена в результате дифференцирования остаточного члена формулы Стирлинга и вычисления его в точке . В силу (3.17) погрешность метода численного дифференцирования имеет вид: , где . Погрешность метода с уменьшением шага уменьшается. Расчетная формула вычисления первой производной в точке будет следующей: . (3.18) Пусть все табличные значения функции заданы с одинаковой погрешностью , тогда можно оценить неустранимую погрешность, возникающую из-за неточности исходных данных следующим образом: . (3.19) Из (3.19) видно, что неустранимая погрешность с уменьшением шага возрастает. Если посмотреть на график полной погрешности (рис. 3.1) , (3.20) то можно сделать вывод, что существует оптимальный шаг , обеспечивающий минимум полной погрешности.
Рис. 3.1. Графики погрешностей
Найдем оптимальный шаг, из условия
, и окончательно получаем . (3.21) Отметим, что величину можно оценить по формуле . (3.22) Пример. 3.3. Требуется вычислить значение первой производной функции, которая задана в виде следующей таблице:
Таблица 3.4.
в точке . Необходимо также оценить погрешность метода, неустранимую погрешность, полную погрешность, оптимальный шаг таблицы, считая, что табличные значения функции заданы с верными знаками. При выполнении расчетов будем использовать конечные разности, приведенные в таблице Таблица 3.5.
В этом случае для аппроксимации функции можно выбрать формулу Стирлинга при , где . Оценивать производную будем по первому слагаемому от производной формулы Стирлинга. В нашем примере , погрешность табличного значения функции равна . Тогда в соответствии с формулами (3.18)-(3.22) получим следующие результаты: , , , , , . Расчеты производной первого порядка показали, что производная вычисляется с погрешностью . При этом минимальное значение полной погрешности может быть достигнуто для таблицы с шагом . Пусть точка , в которой необходимо выполнить операцию численного дифференцирования находится вблизи начала таблицы. Тогда выберем формулу 1-ую формулу Ньютона: , (3.23) где . Дифференцируя (3.23) по получим: . (3.24) Вычислим значение первой производной по первым двум слагаемым формулы (3.24), оценим полную погрешность , (3.25) , , . Определим оптимальный шаг таблицы для случая, когда производная вычисляется в точке . Тогда учитывая, что , получим из условия минимума полной погрешности , которая в нашем случае равна: выражение для : . Формула (3.25) имеет второй порядок точности, если производную вычислять только по первому слагаемому формулы (3.24), то формула будет иметь первый порядок точности. Минимизируя для этого случая полную погрешность , можно найти значение .
По аналогии с первой производной, можно вычислить производные более высокого порядка: , .
При вычислении производных в точке (), формулы приобретают простой вид: , , .
Если точка находится вблизи конца таблицы, то для аппроксимации выбирается 2-ая формула Ньютона: (3.26) Тогда производная оценивается по формуле:
. (3.27) Оценим погрешности , и для случая, когда первая производная оценивается по первым двум слагаемым. В результате получим: , (3.28) , , . Формула (3.28) имеет второй порядок точности. Формулы для производных более высокого порядка имеют вид: , .
Отметим, что одним из способов уменьшения погрешности численного дифференцирования, является выбор оптимального шага табулирования функции. Другой прием уменьшения погрешности заключается в том, что стачала табличные значения функции, сглаживаются и только затем осуществляется численное дифференцирование. Сглаживание данных можно осуществить с помощью методов скользящего среднего, экспоненциального сглаживания и др.
Дата добавления: 2014-12-29; Просмотров: 698; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |