Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Послідовність визначення струмів і напруг




Як відомо з курсу вищої математики, розв’язок системи звичайних лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, складеними за першим і другим законами Кірхгофа, є сумою загального розв’язку і частинного розв’язку. Отже, змінні неперіодичні струми і напруги мають, у загальному випадку дві складові: вільну складову, яка відповідає загальному розв’язку і обумовлену енергією, накопиченою у реактивних елементах кола і вимушену складову, яка відповідає частинному розв’язку і обумовлена енергією джерел, що діють у колі.

Ці системи диференціальних рівнянь розв’язуються у такій послідовності:

Визначення вимушених складових струмів і напруг. Вимушені складові струмів і напруг визначаються для усталеного режиму кола після закінчення перехідного процесу. Вимушені складові визначаються відомими методами розрахунку кіл постійного струму, якщо у колі діють постійні джерела енергії і символічним методом, якщо у колі діють синусоїдні джерела енергії.

Вимушені складові струмів у вітках і напруг на елементах кола обумовлені дією джерел електричної енергії і тому присутні в електричному колі як в усталеному, так і перехідному режимах. Як вже зазначалося, вимушені складові відповідають частинному розв’язку системи диференціальних рівнянь.

Загального методу знаходження частинного розв’язку неоднорідного диференціального рівняння, а отже визначення вимушених складових немає. Розроблені тільки методи знаходження частинного розв’язку у часткових випадках, зокрема у випадках, коли у правій частині диференціального рівняння стоїть стала величина чи синусоїдна функція. З точки зору електротехніки це означає, що вимушені складові струмів і напруг можна успішно визначати для кіл постійного і синусоїдного струмів в усталеному режимі відомими методами електротехніки на основі законів Ома і Кірхгофа.

Визначення вільних складових струмів і напруг. Вільні складові струмів і напруг, як вже зазначалося раніше, обумовлені енергією, накопиченою реактивними елементами кола. Щоб визначити вільні складові струмів чи напруг, потрібно розв’язати систему однорідних диференціальних рівнянь, складених за законами Кірхгофа. Загальний розв’язок відповідає вільним складовим струмів і напруг, які обумовлені енергією, накопиченою у реактивних елементах кола.

Однорідним диференціальним рівнянням, як відомо з курсу вищої математики, називається диференціальне рівняння з нульовою правою частиною, тобто це рівняння описує електричне коло, у якому відсутні джерела енергії (джерела напруги чи струму), а струми і напруги у колі обумовлені тільки енергією, накопиченою на реактивних елементах кола, тобто вільні складові струмів.
Вільні складові, тобто загальний розв’язок, як відомо з вищої математики, є сумою експоненціальних функцій і записуються у вигляді:
(5.9)
де С 11, С 12,..., Сnm — сталі інтегрування;
р 1, р 2,..., рn — корені характеристичного рівняння.

Знаходження коренів характеристичного рівняння. Щоб знайти корені р 1, р 2,..., рn характеристичного рівняння однорідну систему звичайних лінійних диференціальних рівнянь алгебраїзують, тобто зводять цю систему до системи алгебраїчних рівнянь. Можливість алгебраїзації системи лінійних диференціальних рівнянь обумовлена тим фактом, що загальний розв’язок такої системи рівнянь є сума експоненціальних функції виду (5.9). Диференціювання експоненціальної функції рівносильно множенню цієї функції на показник степеня, тобто

. (5.10)

Інтегрування експоненціальної функції рівносильно діленню цієї функції на показник степеня, тобто

. (5.11)

Якщо підставити загальний розв’язок в однорідну систему рівнянь і виконати операції диференціювання і інтегрування над експоненціальними функціями, що входять у загальний розв’язок, то система однорідних диференціальних рівнянь зведеться до системи алгебраїчних рівнянь відносно змінної p.

Визначник D системи алгебраїчних рівнянь залежить від параметрів R, L, C елементів кола і від невідомої змінної p, тобто

D= f(R, L, C, p). (5.12)

У курсі вищої математики доводиться, що умовою існування ненульового розв’язку системи алгебраїчних рівнянь з нульовою правою частиною є умова рівності нулю визначника цієї системи

D= f(R, L, C, p) =0. (5.13)

Рівняння (5.13) називається характеристичним рівнянням системи алгебраїчних рівнянь. Невідомим у цьому рівнянні є параметр р. Степінь характеристичного рівняння, а значить і кількість коренів цього рівняння залежить від складності електричного кола і кількості у ньому віток з реактивними елементами. Характеристичне рівняння розв’язується, тобто знаходяться його корені відомими в алгебрі методами.

Корені р1, р2,..., рn характеристичного рівняння залежать від параметрів R, L, C елементів кола і визначають тривалість перехідних процесів у колі.

Обчислення значень сталих інтегрування. Сталі інтегрування С 11, С 12,..., Сnm у розв’язку системи однорідних диференціальних рівнянь обчислюються, виходячи з так званих початкових умов. Для електричних кіл змінного неперіодичного струму початковими умовами є струмив індуктивних елементах і напруги на ємнісних елементах в момент часу, безпосередньо після комутації, тобто iL (0+), uC (0+).

За законами комутації ці значення дорівнюють значенням цих величин в усталеному режимі до моменту комутації, тобто

iL(0+) = iL(0_) (5.14).

uC(0+) = uC(0_) (5.15).

Значення струмів в індуктивних елементах і напруг на ємнісних елементах в усталеному режимі до моменту комутації, тобто iL(0_),uC(0_), обчислюють, використовуючи відомі методи аналізу електричних кіл постійного і синусоїдного струмів, і підставляють у праву частину рівнянь (5.14), (5.15).

У ліву частину рівнянь (5.14), (5.15) підставляємо значення перехідних струмів і напруг, тобто суму вільної і вимушеної складових у момент часу безпосередньо після комутації

iL(0+) = i ׳ L(0+)+i ׳׳ L(0+) (5.16).

uC(0+) = u ׳ C(0+)+u ׳׳ C(0+) (5.17).

Після підстановки правої і лівої частин, рівняння (5.14), (5.15) стають системою рівнянь відносно невідомих сталих інтегрування С 11, С 12,..., Сnm.

Слід зазначити, що в багатьох випадках кількість рівнянь у системі менша кількості невідомих і тому неможливо знайти розв’язок такої системи. У такому разі додатково складають рівняння за законами Кірхгофа відносно похідних струмів в індуктивностях і напруг на ємностях у момент часу t = (0+).

Об’єднавши систему рівнянь для струмів в індуктивностях і напруг на ємностях у єдину систему рівнянь, розв’язують цю систему і отримують значення сталих інтегрування.

Підставивши обчислені значення сталих інтегрування та значення коренів характеристичного рівняння у вирази для струмів і напруг, отримаємо миттєві значення струмів і напруг у колі.

Застосуємо класичний метод для аналізу процесів в електричних колах.

Приклад 5.1. Визначити струми у вітках кола, на вході якого діє змінна неперіодична напруга ux (t) (рис. 5.9). Параметри елементів кола мають такі значення: U 0=15.0 V; R 1=24 kW; R 2=2 kW; R 3=3 kW; L 1=2.4 mH; C 1=1.8 nF.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-01-03; Просмотров: 513; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.