Аналитические и численные методы решения актуарных задач

Возвращаясь к проблеме определения оптимальной величины страхового резерва и оптимальных границ зоны ответственности резерва за риск, видно, что при аналитическом подходе к решению этой проблемы актуарий должен работать с доверительными интервалами для числа страховых случаев.

Эта задача нетривиальна даже при сравнительно простых распределениях числа случаев, например, при распределении Пуассона, когда для заданного интервала необходимо определить вероятность попадания в него. Еще сложнее обратная задача построения границ интервала по заданной вероятности, поскольку можно варьировать границы и получить множество приемлемых решений.

Поэтому в актуарных исследованиях широко применяется прием аппроксимации сложных распределений более простыми, что позволяет получить аналитическое решение. Если этот прием не срабатывает, исследователь прибегает к численному моделированию на ПЭВМ.

В рассмотренной схеме предполагалось, что ответственность перестраховщика начинается после окончания ответственности страховщика. Однако, возможно и долевое перестрахование, когда ответственность по каждому случаю из некоторого диапазона разделена в определенной пропорции между страховщиком и перестраховщиком. Естественно, при выборе схемы перестрахования следует учесть и такую возможность и выполнить соответствующие расчеты.

На практике не применяется схема, где зоны ответственности резерва и перестраховщика меняются местами. Свой резерв при этом существенно падает, но плата перестраховщику существенно возрастает. Должна возникнуть какая-то особая (искусственная) ситуация, при которой такая политика страховщика была бы оправдана.

Утверждение о неоднозначности решения задачи определения границ зоны ответственности страхового резерва и его величины базируется на известном из теории вероятности факте. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал численно равна площади фигуры под кривой плотности распределения. И для любого распределения, кроме равномерного, эта площадь зависит не только от длины интервала, но и от его местоположения.

Например, для унимодальных распределений, как нормальное или пуассоновское, эта площадь уменьшается при удалении от моды (для интервалов одинаковой длины). Данное обстоятельство и объясняет тот факт, что на практике на перестрахование передаются отдаленные (большие) риски, которые достаточно редки по сравнению со средними. А риски в промежутке между средними и большими перекрываются своими резервами в надежде, что прибегать к резерву почти не придется.

Это же обстоятельство объясняет и поведение компании, когда она сокращает свой резерв (зону ответственности резерва), увеличивая передаваемый риск и плату за него. Компания рассчитывает инвестировать высвобожденные средства и не только компенсировать увеличение оплаты перестрахования, но и перекрыть его и получить некоторый доход.

В странах с развитой рыночной экономикой данные варианты давно актуарно оценены, и по результатам исследований (подтвержденных практикой) принят ряд законов, регламентирующих инвестиционную деятельность страховых компаний. Смысл этих мер – повысить надежность страхования в целом, то есть помешать страховщикам разориться, участвуя в сомнительных проектах в погоне за сверхприбылью.

При работе актуария, например, с распределением Пуассона, возникают некоторые вопросы, решение которых требует определенной аккуратности. Как известно, нормальный закон распределения является предельным случаем для нескольких законов, в том числе для биномиального и пуассоновского. Поэтому существует возможность аппроксимировать правую часть распределения Пуассона нормальным законом. А это, в свою очередь, позволяет упростить решение задач построения доверительных интервалов.

Однако здесь необходимо оценить точность подобной аппроксимации. Очевидно, на различных участках правой ветви эта точность будет различной. Это порождает целое направление актуарных исследований.

Существует и еще один смежный вопрос, требующий достаточно тонкого подхода. В основе задачи лежит биномиальное распределение, которое можно аппроксимировать как нормальным (если вероятность р в отдельном испытании не стремится ни к 0, ни к 1), так и распределением Пуассона (если р стремится к 0). Понятно, что применить эти две аппроксимации одновременно нельзя.

В то же время распределение Пуассона можно аппроксимировать нормальным распределением при достаточно большом значении λ (см. В. Феллер /5/). Возникает некоторое противоречие, разрешение которого также представляет определенный интерес как для актуарной науки, так и для практических задач.

Как ни парадоксально, но численное решение задачи построения доверительных интервалов для сравнительно простого распределения Пуассона получается, в принципе, значительно проще, чем аналитическое. Можно поручить ПЭВМ вычислить вероятности того, что произойдет именно k страховых случаев, и накапливать сумму этих вероятностей (либо в требуемом диапазоне изменения k, либо до получения требуемого значения этой суммы). Такой подход достаточно часто реализуется при создании актуарных ППП, но для актуария интерес представляет и аналитическое решение. Его можно использовать для решения других, более сложных задач.

Дата добавления: 2015-01-03